VIENALĄSČIŲ TRAPECIJOS FORMOS: SAVYBĖS, RYŠIAI IR FORMULĖS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Lygiakraščio trapecijos formos yra keturkampis, kurioje du iš pusių yra lygiagrečios viena kitai ir, be to, du kampai greta vienas iš tų lygiagrečių šonų turi tą pačią priemonę.

1 paveiksle yra keturkampis ABCD, kurio kraštinės AD ir BC yra lygiagrečios. Be to, kampai ∠DAB ir ∠ADC, esantys greta lygiagrečiosios pusės AD, turi tą patį dydį α.

1 pav. Viengyslių trapecijos. Šaltinis: F. Zapata.

Taigi šis keturkampis arba keturkampis daugiakampis iš tikrųjų yra lygiašonis trapecijos formos.

Trapecijos formos lygiagrečios pusės vadinamos bazėmis, o nelygiagrečios pusės - šoninėmis. Kita svarbi charakteristika yra aukštis, tai yra atstumas, skiriantis lygiagrečias puses.

Be trapecijos, sudarytos iš lygiašonių trapecijos formos, yra ir kitų tipų trapecijos:

-T rapezoid skalė, turinti visus savo kampus ir skirtingas puses.

- Stačiakampis rapezoidas, kurio viena pusė turi dešinius gretimus kampus.

Kaip bus matyti vėliau, trapecijos forma yra įprasta įvairiose projektavimo, architektūros, elektronikos, skaičiavimo ir daugelyje kitų sričių. Taigi svarbu susipažinti su jo savybėmis.

Savybės

Išskirtinis vienaląsčių trapecijų

Jei trapecija yra lygiašonis, jis pasižymi šiomis būdingomis savybėmis:

1.- Šonai matuojami vienodai.

2.- Kampai, esantys greta pagrindų, yra lygūs.

3.- Priešingi kampai yra papildomi.

4.- Įstrižainės yra vienodo ilgio, du segmentai, jungiantys priešingas viršūnes, yra vienodi.

5.- Kampas, suformuotas tarp pagrindų ir įstrižainių, yra vienodas.

6.- Jis turi apibrėžtą apskritimą.

Ir atvirkščiai, jei trapecija atitinka bet kurią iš aukščiau išvardytų savybių, tai yra lygiašonis trapecinis.

Jei lygiašonis trapecijos formos vienas iš kampų yra dešinysis (90º), tada visi kiti kampai taip pat bus teisingi, sudarydami stačiakampį. Tai yra, stačiakampis yra ypatingas lygiagretės trapecijos atvejis.

2 pav. Popkorno konteineris ir mokykliniai stalai yra lygios trapecijos formos. Šaltinis: „Pxfuel“ (kairėje) / McDowell Craig per „Flickr“. (dešinėje)

Dėl visų trapecijų

Šie ypatybių rinkiniai galioja bet kuriai trapecijai:

7. Trapecijos mediana, tai yra segmentas, jungiantis jo nelygiagrečių pusių vidurinius taškus, yra lygiagreti bet kuriai iš pagrindų.

8. Medianos ilgis yra lygus pusiaukampiui (suma, padalyta iš 2) jos bazių.

9. Trapecijos vidurkis perpjauna jos įstrižaines viduryje.

10. Trapecijos įstrižainės susikerta taške, padalijantį juos į dvi dalis, proporcingas bazių dalims.

11.- Trapecijos įstrižainių kvadratų suma lygi jos kraštų kvadratų sumai, pridėjus dvigubą jos pagrindų sandaugą.

12.- Segmentas, jungiantis įstrižainių vidurio taškus, turi ilgį, lygų pusių bazių skirtumui.

13.- kampai, esantys šalia šonų, yra papildomi.

14. Trapecijos formos apskritimas yra tik tada, jei jos bazių suma lygi jos kraštų sumai.

15. Jei trapecijos formos apskritimas yra užrašytas, kampai, kurių viršūnė yra perimetro centre, ir kraštai, kertantys tos pačios pusės galus, yra stačiakampiai.

Santykiai ir formulės

Toliau pateiktas ryšių ir formulių rinkinys yra pavaizduotas 3 paveiksle, kur, be lygiagretės trapecijos, parodomi ir kiti jau paminėti svarbūs segmentai, tokie kaip įstrižainės, aukštis ir mediana.

3 paveikslas. Trapecijos viduryje, įstrižainės, aukštis ir apibrėžtas apskritimas lygiagretės trapecijos formos. Šaltinis: F. Zapata.

Unikalūs vienaląsčių trapecijos santykiai

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA ir ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º ir ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = kintamoji

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C ir D priklauso apibrėžtam apskritimui.

Santykiai dėl bet kokios trapecijos

1. Jei AK = KB ir DL = LC ⇒ KL - AD ir KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 ir DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC ir DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º ir ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Jei AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, nei vienodai nutolę nuo AD, BC, AB ir DC

15.- Jei ∃ R yra tolygiai nuo AD, BC, AB ir DC, tada:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Santykiai tarp trapecijos trapecijos su užrašytu apskritimu

Jei vienaląsčiuose trapecijos pavidalu bazių suma yra lygi dvigubai šoninei, tada užrašytas perimetras yra.

4 pav. Trapecija su užrašytu apskritimu. Šaltinis: F. Zapata.

Šios trapecijos formos trapecijos apskritimo briaunos yra pažymėtos šiomis savybėmis (žr. 4 paveikslą aukščiau):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Įstrižainės susikerta stačiu kampu: AC ⊥ BD

18.- Aukštis matuojamas taip pat kaip ir mediana: HF = KL, tai yra, h = m.

19.- Aukščio kvadratas yra lygus pagrindų sandaugai: h ² = BC⋅AD

20. Šiomis specifinėmis sąlygomis trapecijos plotas yra lygus aukščio kvadratui arba pagrindo sandaugai: Plotas = h ² = BC⋅AD.

Vienos pusės nustatymo, kitos pusės ir kampo žinojimo formulės

Žinant pagrindą, šoninį kampą ir kampą, kitą pagrindą galima nustatyti pagal:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Jei pagrindų ilgis ir kampas pateikiami kaip žinomi duomenys, tada abiejų pusių ilgis yra:

c = (a - b) / (2 kos α)

Vienos pusės nustatymas, žinant apie kitas ir įstrižainę

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kur d ₁ yra įstrižainių ilgis.

Pagrindo aukštis, plotas ir kita bazė

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Žinomi šoniniai pagrindai, plotas ir kampas

c = (2A) /

Žinomas šoninis vidurkis, plotas ir kampas

c = A / (m sin α)

Žinomas aukštis šonuose

h = √

Žinomas aukštis kampas ir dvi pusės

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Žinomos įstrižainės iš visų pusių arba dvi pusės ir kampas

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 cc Cos β)

Lygiašonių trikampių perimetras

P = a + b + 2c

Lygios trapecijos zona

Yra keletas sričių apskaičiavimo formulių, atsižvelgiant į žinomus duomenis. Priklausomai nuo pagrindo ir aukščio, geriausiai žinoma ši informacija:

A = h⋅ (a + b) / 2

Taip pat galite naudoti šiuos kitus:

-Jei šonai yra žinomi

A = √

-Kai tu turi dvi puses ir kampą

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Jei žinomas užrašyto apskritimo spindulys ir kampas

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kai žinomos bazės ir kampas

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Jei trapecijos formos žymą galima užrašyti perimetru

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Žinokite įstrižas ir kampą, kurį jos sudaro viena su kita

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) trikampio Sen

-Kai turite šoninį, vidurinį ir kampą

A = mc.sen α = mc.sen β

Apipjaustyto apskritimo spindulys

Tik lygiašonių trapecijos formos perimetras yra apibrėžtas. Jei pagrindas didesnis už a, _{yra žinomas} šoninis c ir įstrižainė d ₁ , tada apskritimo, einančio per keturias trapecijos viršūnių, spindulys R yra:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Kur p = (a + c + d ₁ ) / 2

Lygiašolių trapecijos naudojimo pavyzdžiai

Lygiašonis trapecijos formos dizainas pasirodo kaip parodyta 2 paveiksle. Štai keletas papildomų pavyzdžių:

Architektūroje ir statyboje

Senovės inkai žinojo lygiagrančių trapeciją ir panaudojo ją kaip statybinį elementą šiame lange Kuku mieste, Peru:

5 pav. Trapecijos formos Coricancha langas, Kuskas. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Ir čia trapecija vėl pasirodo vadinamajame trapecijos lakšte, medžiagoje, kuri dažnai naudojama statybose:

6 pav. Trapecijos formos metalo lakštas, laikinai apsaugantis pastato langus. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Projektuojant

Mes jau matėme, kad lygios trapecijos atsiranda kasdieniuose daiktuose, įskaitant tokius maisto produktus kaip šis šokolado batonėlis:

7 paveikslas. Šokolado juostelė, kurios veidai yra lygios trapecijos formos. Šaltinis: „Pxfuel“.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Lygiašonės trapecijos pagrindas yra didesnis nei 9 cm, pagrindas yra mažesnis nei 3 cm, o jo įstrižainės yra 8 cm. Apskaičiuoti:

a) Šonas

b) Aukštis

c) Perimetras

d) Plotas

8 pav. Pratimo schema 1. Šaltinis: F. Zapata

Sprendimas

Aukštis CP = h yra nubraižytas, kur aukščio pėda nusako segmentus:

PD = x = (ab) / 2 m

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Naudojant Pitagoro teoremą dešiniajame trikampyje DPC:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

Taip pat dešiniajame trikampyje APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Galiausiai atimamas narys pagal narį, antroji lygtis iš pirmosios ir supaprastinta:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

B sprendimas

h ² = D ² - (a + b) ² /, 4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

C sprendimas

Perimetras = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

D sprendimas

Plotas = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- 2 pratimas

Yra lygios trapecijos formos trapecija, kurios didesnė bazė yra dvigubai mažesnė, o mažesnė jos bazė lygi 6 cm aukščiui. Nuspręskite:

a) šoninio ilgio

b) Perimetras

c) Plotas

d) kampai

8 pav. Pratimo schema. 2 šaltinis: F. Zapata

Sprendimas

Duomenys: a = 12, b = a / 2 = 6 ir h = b = 6

Mes darome taip: nubraižome aukštį h ir taikome Pitagoro teoremą hipotenuzo trikampiui «c» ir kojoms h ir x:

c ² = h ² + xc ²

Tada jūs turite apskaičiuoti aukščio vertę pagal duomenis (h = b) ir kojos x vertę:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Pakeisdami ankstesnius posakius, kuriuos turime:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Dabar įvestos skaitinės vertės ir jos supaprastintos:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Gavimas:

c = 3√5 = 6,71 cm

B sprendimas

Perimetras P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

C sprendimas

Plotas kaip pagrindų aukščio ir ilgio funkcija yra:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

D sprendimas

Kampas α, kurį šoninis su didesne baze sudaro, gaunamas trigonometrijos būdu:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = „ArcTan“ (2) = 63,44º

Kitas kampas, kuris sudaro šoninį su mažesne baze, yra β, papildantis α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Nuorodos

1. EA 2003. Geometrijos elementai: su pratimais ir kompaso geometrija. Medellino universitetas.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atleistas, K. 2007. Atraskite daugiakampius. Lyginamoji švietimo įmonė.
4. Hendrik, V. 2013. Apibendrinti daugiakampiai. Birkhäuser.
5. IGER. Matematikos pirmasis semestras Tacaná. IGER.
6. Jr geometrija. 2014. Daugiakampiai. „Lulu Press, Inc.“
7. Milleris, Heerenas ir Hornsbis. 2006. Matematika: pagrindimas ir taikymas. 10-oji. Leidimas. „Pearson Education“.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Redakcija Progreso.
9. Vikipedija. Trapecija. Atkurta iš: es.wikipedia.com