SKALĖNINIS TRIKAMPIS: CHARAKTERISTIKOS, FORMULĖ IR PLOTAI, SKAIČIAVIMAS - MATEMATIKA - 2025

Įvairiakraštis trikampis yra daugiakampis su trijų pusių, kurie visi turi skirtingus priemonių ar ilgio; dėl šios priežasties jam suteiktas Scalene vardas, kuris lotyniškai reiškia laipiojimą.

Trikampiai yra daugiakampiai, laikomi paprasčiausiais pagal geometriją, nes jie sudaryti iš trijų pusių, trijų kampų ir trijų viršūnių. Skalės trikampio atveju visos pusės skiriasi, tai reiškia, kad trys jo kampai taip pat bus per dideli.

Skalės trikampių charakteristikos

Skalėniniai trikampiai yra paprasti daugiakampiai, nes nė vienas iš jų kraštų ar kampų neturi skirtingo dydžio, priešingai nei lygiašoniai ir lygiakraščiai trikampiai.

Kadangi visi jų kraštai ir kampai turi skirtingus matmenis, šie trikampiai laikomi netaisyklingais išgaubtais daugiakampiais.

Pagal vidinių kampų amplitudę, skalės trikampiai klasifikuojami taip:

• Skalės dešinysis trikampis : visos pusės yra skirtingos. Vienas jo kampas yra teisingas (90 ^arba ), o kiti yra aštrūs ir su skirtingais matmenimis.
• Neįprastas skalės trikampis : visos pusės yra skirtingos, o vienas iš jo kampų yra pailgas (> 90 ^arba ).
• Skalėninis ūmus trikampis : visos pusės yra skirtingos. Visi kampai yra ūmūs (<90 ^arba ) su skirtingais matmenimis.

Kitas skalės trikampių bruožas yra tas, kad dėl jų šonų ir kampų nenuoseklumo jie neturi simetrijos ašies.

Komponentai

Mediana : tai linija, kuri prasideda nuo vienos pusės vidurio taško ir siekia priešingą viršūnę. Trys medianai susitinka taške, vadinamame barycenter arba centroid.

Disektorius : tai spindulys, padalijantis kiekvieną kampą į du vienodo dydžio kampus. Trikampio bisektoriai susitinka taške, vadinamame stimuliatoriumi.

Disektorius : tai segmentas, statmenas trikampio pusei, kurio kilmė yra jo viduryje. Trikampyje yra trys bisektoriai ir jie susitinka taške, vadinamame perimetru.

Aukštis : tai linija, einanti iš viršūnės į priešingą pusę, taip pat ši linija yra statmena šiai pusei. Visi trikampiai turi tris aukščius, kurie sutampa taške, vadinamame ortocentru.

Savybės

Scalene trikampiai yra apibrėžti arba identifikuoti, nes jie turi keletą juos reprezentuojančių savybių, kilusių iš didžiųjų matematikų pasiūlytų teoremų. Jie yra:

Vidiniai kampai

Vidinių kampų suma visada lygi 180 ^° .

Šonų suma

Abiejų pusių matmenų suma visada turi būti didesnė už trečiosios pusės matą, a + b> c.

Nepatogios pusės

Visos skalės trikampių kraštinės turi skirtingus matmenis arba ilgį; tai yra, jie yra nenuoseklūs.

Neatitrūs kampai

Kadangi visos skalės trikampio kraštinės yra skirtingos, bus ir jo kampai. Tačiau vidinių kampų suma visada bus lygi 180º, o kai kuriais atvejais vienas iš jo kampų gali būti neryškus arba stačias, o kitais atvejais visi jo kampai bus ūmūs.

Aukštis, mediana, skyriuje ir skyriuje nesutampa

Kaip ir bet kuris trikampis, skalė turi įvairius juos sudarančius linijų segmentus, tokius kaip: aukštis, mediana, skyriuje ir bisektoriuje.

Dėl šio krašto ypatumų nė viena iš šių linijų nesutampa vienoje iš trikampių.

Orthocenter, barycenter, stimuliatorius ir circumcenter nesutampa

Kadangi aukštį, vidurį, bisektorių ir bisektorių vaizduoja skirtingi linijų segmentai, skalės trikampyje susitikimo taškai - ortocentras, stulpelis ir perimetras - bus rasti skirtinguose taškuose (jie nesutampa).

Priklausomai nuo to, ar trikampis yra ūmus, dešinysis ar skalės formos, ortocentro vietos yra skirtingos:

į. Jei trikampis yra ūmus, ortocentras bus trikampio viduje.

b. Jei trikampis yra dešinysis, ortocentras sutaps su dešinės pusės viršūne.

c. Jei trikampis yra neryškus, ortocentras bus trikampio išorėje.

Santykinis aukštis

Aukščiai yra palyginti su šonais.

Skalės trikampio atveju šių aukščių matmenys bus skirtingi. Kiekvienas trikampis turi tris santykinius aukščius ir jiems apskaičiuoti naudojama Herono formulė.

Kaip apskaičiuoti perimetrą?

Poligono perimetras apskaičiuojamas pridedant šonus.

Kadangi šiuo atveju skalės trikampio visos kraštinės turi skirtingus matmenis, jo perimetras bus:

P = pusė a + pusė b + pusė c.

Kaip apskaičiuoti plotą?

Trikampių plotas visada apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę, padauginus iš bazės ilgio aukščio ir padalinant iš dviejų:

Plotas = (bazė _* h) ÷ 2

Kai kuriais atvejais skalės trikampio aukštis nėra žinomas, tačiau yra formulė, kurią pasiūlė matematikas Heronas, kad būtų galima apskaičiuoti plotą, žinant trikampio trijų kraštinių matmenis.

Kur:

• a, b ir c žymi trikampio kraštines.
• sp, atitinka trikampio pusperiodį, tai yra pusę perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Tuo atveju, kai turime tik dviejų trikampio kraštinių matmenis ir tarp jų suformuotą kampą, plotą galima apskaičiuoti taikant trigonometrinius koeficientus. Taigi jūs turite:

Plotas = (šonas _* h) ÷ 2

Kur aukštis (h) yra vienos pusės ir priešingo kampo sinuso sandauga. Pavyzdžiui, kiekvienai pusei plotas bus:

• Plotas = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Plotas = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Plotas = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Kaip apskaičiuoti aukštį?

Kadangi visos skalės trikampio kraštinės yra skirtingos, aukščio apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą neįmanoma.

Pagal Herono formulę, kuri pagrįsta trijų trikampio kraštinių matavimais, galima apskaičiuoti plotą.

Aukštį galima išvalyti pagal bendrąją srities formulę:

Šoninė dalis pakeičiama a, b arba c kraštinėmis.

Kitas būdas apskaičiuoti aukštį, kai žinoma vieno iš kampų vertė, yra taikyti trigonometrinius koeficientus, kur aukštis parodys trikampio koją.

Pvz., Kai bus žinomas priešais aukštį esantis kampas, jį lems sinusas:

Kaip apskaičiuoti šonus?

Kai turite dviejų kraštų matmenis ir kampą, priešingą jiems, trečiąją pusę nustatyti galima naudojant kosinuso teoremą.

Pavyzdžiui, trikampyje AB nubrėžtas aukštis, palyginti su segmentu AC. Tokiu būdu trikampis yra padalintas į du dešinius trikampius.

Norėdami apskaičiuoti šoną c (segmentas AB), kiekvienam trikampiui pritaikykite Pitagoro teoremą:

• Mes turime mėlyną trikampį:

c ² = h ² + m ²

Kadangi m = b - n, mes pakeičiame:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 mlrd + n ² .

• Norėdami sukurti rausvą trikampį, turite:

h ² = a ² - n ²

Jis pakeičiamas ankstesne lygtimi:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 mlrd + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 mlrd.

Žinant, kad n = a _* cos C, jis pakeičiamas ankstesne lygtimi ir gaunama šono c vertė:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Pagal Kosinusų įstatymą, pusės gali būti apskaičiuojamos taip:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Yra atvejų, kai nežinomi trikampio kraštinių matmenys, greičiau jų aukštis ir kampai, suformuoti viršūnėse. Norint nustatyti plotą šiais atvejais būtina taikyti trigonometrinius koeficientus.

Žinant vienos iš jo viršūnių kampą, kojos nustatomos ir naudojamas atitinkamas trigonometrinis santykis:

Pvz., Koja AB bus priešinga kampui C, bet ribojasi su kampu A. Priklausomai nuo šono ar kojos, atitinkančios aukštį, kita pusė yra atlaisvinta, kad gautumėte šios vertės vertę.

Pratimai

Pirmas pratimas

Apskaičiuokite skalės trikampio ABC plotą ir aukštį, žinodami, kad jo kraštinės yra:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Sprendimas

Pateikiami trijų skalės trikampio kraštinių matavimai.

Kadangi aukščio vertės nėra, plotą galima nustatyti taikant Herono formulę.

Pirmiausia apskaičiuojamas pusiauperimetras:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Dabar vertės pakeistos Herono formulėje:

Žinant plotą, galima apskaičiuoti aukštį b pusės atžvilgiu. Iš bendros formulės, ją išvalius, turime:

Plotas = (šonas _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Antras pratimas

Atsižvelgiant į skalės trikampį ABC, kurio matai:

• AB segmentas = 25 m.
• Segmentas BC = 15 m.

B viršūnėje susidaro 50º kampas. Apskaičiuokite aukštį, palyginti su šone c, perimetrą ir to trikampio plotą.

Sprendimas

Šiuo atveju turime dviejų pusių matavimus. Norint nustatyti aukštį, būtina apskaičiuoti trečiosios pusės matavimą.

Kadangi duotas kampas, priešingas nurodytoms pusėms, šoninės AC (b) matui nustatyti galima taikyti kosinusų dėsnį:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kur:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = kintama.

B = 50 ^o .

Duomenys pakeičiami:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482 025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Kadangi jau turime trijų pusių vertę, apskaičiuojamas to trikampio perimetras:

P = pusė a + pusė b + pusė c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Dabar galima nustatyti plotą pagal Herono formulę, tačiau pirmiausia reikia apskaičiuoti pusiauperimetrą:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Šonų ir pusperimetro matavimai pakeisti Herono formulėje:

Galiausiai žinant plotą, galima apskaičiuoti aukštį, palyginti su c šone. Iš bendros formulės, išvalydami ją, turite:

Plotas = (šonas _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Trečias pratimas

Skalės trikampyje ABC kraštinė b yra 40 cm, kraštinė c - 22 cm, o viršūnė A sudaro 90 kampą ^arba . Apskaičiuokite to trikampio plotą.

Sprendimas

Šiuo atveju pateikiami skalės trikampio ABC dviejų kraštų matai, taip pat kampas, kuris susidaro A viršūnėje.

Norint nustatyti plotą, nebūtina apskaičiuoti šono a mato, nes per trigonometrinius koeficientus kampas naudojamas jam surasti.

Kadangi kampas, esantis priešais aukštį, yra žinomas, jį lems vienos pusės sandauga ir kampo sinusas.

Pakaitinę mūsų turimą srities formulę:

• Plotas = (šonas _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Plotas = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Plotas = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Plotas = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Plotas = 880 cm ² ÷ 2

Plotas = 440 cm ² .

Nuorodos

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Techninis brėžinys: veiklos užrašų knygelė.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrijos. CR technologija,.
3. Angelas, AR (2007). Pradinė algebra. „Pearson Education“,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: kultūra.
5. Barbosa, JL (2006). Lėktuvo euklidinė geometrija. Rio de Žaneiras,.
6. Coxeter, H. (1971). Geometrijos pagrindai. Meksika: Limusa-Wiley.
7. Danielius C. Alexanderis, GM (2014 m.). Pradinė studentų geometrija. „Cengage“ mokymasis.
8. Harpe, P. d. (2000). Geometrinių grupių teorijos temos. University of Chicago Press.