DIREKTORIAUS VEKTORIUS: TIESĖS LYGTIS, IŠSPRĘSTI UŽDAVINIAI - FIZINIS - 2025

Direktoriaus vektorius suprantamas kaip tas, kuris apibrėžia linijos kryptį plokštumoje arba erdvėje. Todėl vektorius, lygiagretus linijai, gali būti laikomas nukreipiančiuoju jos vektoriu.

Tai įmanoma dėl Euklido geometrijos aksiomos, teigiančios, kad du taškai nusako liniją. Tuomet orientuotas segmentas, suformuotas iš šių dviejų taškų, taip pat nusako minėtos linijos nukreipimo vektorių.

1 pav. Linijos vektorius. (Savo parengimas)

Atsižvelgiant į linijai (L) priklausantį tašką P ir tos linijos direktorių vektorių u , linija yra visiškai nustatyta.

Linijos ir režisieriaus vektoriaus lygtis

2 pav. Linijos ir direktoriaus vektoriaus lygtis. (Savo parengimas)

Atsižvelgiant į tašką P, kuriame nurodytos koordinatės P: (Xo, I), ir tiesės (L) vektorių u vektorių , kiekvienas koordinačių taškas Q: (X, Y) turi įsitikinti, kad vektorius PQ yra lygiagretus su u. Ši paskutinė sąlyga garantuojama, jei PQ yra proporcingas u :

PQ = t⋅ u

aukščiau pateiktoje išraiškoje t yra parametras, priklausantis tikriesiems skaičiams.

Jei rašomi PK ir u Dekarto komponentai, aukščiau pateikta lygtis užrašoma taip:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Jei vektorių lygybės komponentai yra išlyginti, gaunama ši lygčių pora:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrinė tiesės lygtis

Taško, priklausančio linijai (L), kuris eina per koordinačių tašką (Xo, Y) ir yra lygiagretus direktoriaus vektoriui u = (a, b), X ir Y koordinatės nustatomos, kintamam parametrui t priskiriant tikrąsias reikšmes:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

1 pavyzdys

Norėdami parodyti linijos parametrinės lygties reikšmę, imame kaip nukreipimo vektorių

u = (a, b) = (2, -1)

ir kaip žinomas linijos taškas

P = (Xo, I) = (1,5).

Parametrinė tiesės lygtis yra:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1t; -∞

Norėdami paaiškinti šios lygties reikšmę, parodytas 3 paveikslas, kuriame parametras t keičia savo vertę, o koordinačių taškas Q (X, Y) užima skirtingas pozicijas tiesėje.

3 pav. PQ = t u. (Savo parengimas)

Linija vektorine forma

Atsižvelgiant į tašką P tiesėje ir jos vektorių u, tiesės lygtis gali būti užrašyta vektorine forma:

OQ = OP + λ⋅ u

Aukščiau pateiktoje lygtyje Q yra bet kuris taškas, bet priklausantis linijai, o λ yra tikrasis skaičius.

Linijos vektorinė lygtis taikoma bet kuriam matmenų skaičiui, netgi galima apibrėžti hiper liniją.

Trimatėje direktoriaus vektoriaus u = (a, b, c) ir taško P = (Xo, Yo, Zo) atveju linijai priklausančio bendro taško Q = (X, Y, Z) koordinatės yra :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

2 pavyzdys

Dar kartą apsvarstykite liniją, kuri turi tiesioginį vektorių

u = (a, b) = (2, -1)

ir kaip žinomas linijos taškas

P = (Xo, I) = (1,5).

Minėtos linijos vektorinė lygtis yra:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Nepertraukiama linijos ir režisieriaus vektoriaus forma

Pradėję nuo parametrinės formos, išvalę ir prilyginę parametrą λ, turime:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Tai yra simetrinė tiesės lygties forma. Atminkite, kad a, b ir c yra direktoriaus vektoriaus komponentai.

3 pavyzdys

Apsvarstykite liniją, kuri turi tiesioginį vektorių

u = (a, b) = (2, -1)

ir kaip žinomas linijos taškas

P = (Xo, I) = (1,5). Raskite jo simetrišką formą.

Simetriška ar ištisinė linijos forma yra:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Bendroji tiesės lygties forma

Bendroji linijos forma XY plokštumoje yra žinoma kaip lygtis, kurios struktūra tokia:

A⋅X + B⋅Y = C

Simetrinės formos išraiška gali būti perrašyta į bendrą formą:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

palyginti su bendrąja linijos forma, ji yra:

A = b, B = -a ir C = b⋅Xo - a⋅Yo

3 pavyzdys

Raskite eilutės, kurios direktoriaus vektorius yra u = (2, -1), bendrą formą.

ir eina per tašką P = (1, 5).

Norėdami rasti bendrą formą, galime naudoti pateiktas formules, tačiau bus pasirinktas alternatyvus kelias.

Pirmiausia ieškome direktoriaus vektoriaus u dvigubo vektoriaus w, apibrėžto kaip vektoriaus, gauto keičiant u komponentus ir antrą padauginant iš -1:

w = (-1, -2)

dvigubas vektorius w atitinka direktoriaus vektoriaus v sukimąsi 90 ° pagal laikrodžio rodyklę .

Padalijame skalę w su (X, Y) ir su (Xo, Yo) ir nustatome lygias:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1,5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

likti pagaliau:

X + 2Y = 11

Standartinė tiesės lygties forma

Ji vadinama standartine linijos forma XY plokštumoje, kurios struktūra yra tokia:

Y = m⋅X + d

kur m žymi nuolydį, o d pertrauka su Y ašimi.

Atsižvelgiant į krypties vektorių u = (a, b), nuolydis m yra b / a.

Yd gaunamas pakeičiant X ir Y žinomu tašku Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Trumpai tariant, m = b / a ir d = I - (b / a) Xo

Atminkite, kad nuolydis m yra santykis tarp direktoriaus vektoriaus y komponento ir jo x komponento.

4 pavyzdys

Raskite eilutės, kurios direktoriaus vektorius yra u = (2, -1), standartinę formą.

ir eina per tašką P = (1, 5).

m = -½ ir d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Raskite tiesės (L) vektorių, kuris yra plokštumos (Π) sankirta: X - Y + Z = 3 ir plokštumos (Ω): 2X + Y = 1.

Tada parašykite ištisinę tiesės (L) lygties formą.

Sprendimas

Iš lygties plokštumos (Ω) klirensas Y: Y = 1 -2X

Tada plokštumos lygtyje (Π) pakeičiame:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Tada mes parametrizuojame X, pasirenkame parametrą X = λ

Tai reiškia, kad linija turi vektoriaus lygtį, gautą:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

kurią galima perrašyti taip:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

su kuria akivaizdu, kad vektorius u = (1, -2, -3) yra tiesės (L) nukreipiamasis vektorius.

Ištisinė linijos forma (L) yra:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- 2 pratimas

Atsižvelgiant į plokštumą 5X + a Y + 4Z = 5

ir linija, kurios lygtis yra X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Nustatykite tokios vertės vertę, kad plokštuma ir linija būtų lygiagrečios.

2 sprendimas

Vektorius n = (5, a, 4) yra vektorius, normalus plokštumai.

Vektorius u = (1, 3, -2) yra tiesės tiesės vektorius.

Jei linija yra lygiagreti plokštumai, tada n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Nuorodos

1. Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika. „Prentice Hall“ PTR.
2. Kolmanas, B. (2006). Tiesinė algebra. „Pearson Education“.
3. Leal, JM ir „Viloria“, NG (2005). Plokštumos analitinė geometrija. Mérida - Venesuela: Venesuelos CA redakcija
4. Navarro, Rocio. Vektoriai. Atkurta iš: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.
6. Prenowitz, W. 2012. Pagrindinės geometrijos sampratos. „Rowman & Littlefield“.
7. Sullivan, M. (1997). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.