NORMALUS VEKTORIUS: SKAIČIAVIMAS IR PAVYZDYS - FIZINIS - 2025

Normalus vektorius yra vienas, kad apibrėžia statmena kryptimi tam tikru geometrinio subjekto svarstomu, kuri gali būti pagal kreivės, plokštumoje arba paviršiaus, pavyzdžiui.

Tai labai naudinga koncepcija, nustatant judančią dalelę ar tam tikrą paviršių erdvėje. Toliau pateiktoje diagramoje galima pamatyti, koks yra normalios savavališkos kreivės C vektorius:

1 pav. Kreivė C, kai vektorius normalus kreivės taške P. Šaltinis: Svjo

Apsvarstykite kreivės C tašką P. Taškas gali parodyti judančią dalelę, kuri juda C formos keliu. Kreivės liestinės linija taške P nubrėžta raudona spalva.

Atkreipkite dėmesį, kad vektorius T yra liestinė C kiekviename taške, o vektorius N yra statmenas T ir nukreiptas į įsivaizduojamo apskritimo, kurio lankas yra C segmentas, centrą. Vektoriai žymimi paryškintu šriftu spausdintame tekste, atskirti juos nuo kitų ne vektorinių kiekių.

Vektorius T visada nurodo, kur dalelė juda, todėl rodo dalelės greitį. Kita vertus, vektorius N visada nurodo dalelės sukimosi kryptį, tokiu būdu tai rodo kreivės C įgaubtumą.

Kaip į normalų vektorių patekti į plokštumą?

Normalus vektorius nebūtinai yra vienetinis vektorius, tai yra, vektorius, kurio modulis yra 1, tačiau jei taip, jis vadinamas normaliu vienetiniu vektoriu.

2 paveikslas. Kairėje plokštuma P ir du vektoriai, normalūs minėtai plokštumai. Dešinėje vienetų vektoriai trimis kryptimis nulemia erdvę. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Žiūrėti autoriaus puslapį

Daugelyje programų reikia žinoti vektorių, kuris yra normalus plokštumai, o ne kreivė. Šis vektorius parodo minėtos plokštumos orientaciją erdvėje. Pavyzdžiui, atsižvelkite į paveikslo plokštumą P (geltona):

Šioje plokštumoje yra du normalūs vektoriai: n ₁ ir n ₂ . Vieno ar kito panaudojimas priklausys nuo konteksto, kuriame rasta minėta plokštuma. Normalų vektorių į plokštumą gauti yra labai paprasta, jei žinoma plokštumos lygtis:

Čia vektorius N išreiškiamas vienetų vektoriais ir statmenai vienas kitam i , j ir k , nukreiptais išilgai trijų krypčių, lemiančių xyz erdvę, žr. 2 paveikslą dešinėje.

Normalus vektorius iš vektoriaus produkto

Labai paprasta procedūra normaliam vektoriui surasti naudojama vektoriaus produkto savybėms tarp dviejų vektorių naudoti.

Kaip žinoma, trys skirtingi taškai, kurie nėra tiesių linijų vienas su kitu, nustato plokštumą P. Dabar galima gauti du vektorius u ir v , priklausančius minėtai plokštumai, turinčią šiuos tris taškus.

Gavus vektorius, vektoriaus sandauga u x v yra operacija, kurios rezultatas yra vektorius, kurio savybė yra statmena plokštumai, apibrėžtoms u ir v .

Žinomas šis vektorius žymimas kaip N , o iš jo bus galima nustatyti plokštumos lygtį, naudojant lygtį, nurodytą ankstesniame skyriuje:

N = u x v

Šis paveikslas iliustruoja aprašytą procedūrą:

3 paveikslas. Su dviem vektoriais ir jų vektorių sandauga arba kryžiumi nustatoma plokštumos, kurioje yra abu vektoriai, lygtis. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Nepateiktas mašininio skaitymo autorius. M.Romero Schmidtke prielaida (remiantis autorių teisių pretenzijomis).

Pavyzdys

Raskite plokštumos, apibrėžtos taškais A (2,1,3), lygtį; B (0,1,1); C (4.2.1).

Sprendimas

Šis pratimas iliustruoja aukščiau aprašytą procedūrą. Turėdamas 3 taškus, vienas iš jų pasirenkamas kaip bendra dviejų vektorių, priklausančių šių taškų apibrėžtai plokštumai, kilmė. Pvz., Nustatomas taškas A, kaip ištaka, ir sudaryti vektoriai AB ir AC .

Vektorius AB yra vektorius, kurio kilmė yra taškas A, o kurio pabaiga yra taškas B. Vektoriaus AB koordinatės nustatomos atitinkamai atimant B koordinates iš A koordinatės:

Mes einame tuo pačiu būdu, norėdami rasti vektorių AC :

Vektoriaus produkto apskaičiavimas

Yra keletas procedūrų, kaip rasti kryžminį produktą tarp dviejų vektorių. Šiame pavyzdyje naudojama mnemoninė procedūra, kurios metu naudojamas toliau pateiktas paveikslas, norint surasti vektorinius produktus tarp vienetų vektorių i , j ir k:

4 pav. Grafikas, skirtas vektoriaus sandaugai nustatyti tarp vienetų vektorių. Šaltinis: pačių sukurtas.

Pirmiausia verta prisiminti, kad vektorių produktai tarp lygiagrečių vektorių yra niekiniai, todėl:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Ir kadangi vektorinis produktas yra kitas vektorius, statmenas dalyvaujantiems vektoriams, judantis raudonos rodyklės kryptimi, kurią turime:

Jei turite judėti priešinga rodyklės kryptimi, tada pridėkite ženklą (-):

Iš viso galima sudaryti 9 vektorinius produktus, kurių vienetų vektoriai i , j ir k , iš kurių 3 bus niekiniai.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Plokštumos lygtis

Vektorius N buvo nustatytas pagal vektoriaus produktą, anksčiau apskaičiuotą:

N = 2 i -8 j -2 k

Todėl a = 2, b = -8, c = -2, plokštuma siekia:

D reikšmė dar turi būti nustatyta. Tai lengva, jei bet kurio turimo taško A, B arba C vertės pakeičiamos plokštumos lygtimi. Pavyzdžiui, pasirenkant C:

x = 4; y = 2; z = 1

Lieka:

Trumpai tariant, norimas žemėlapis yra:

Smalsiam skaitytojui gali kilti klausimas, ar toks pats rezultatas būtų gautas, jei vietoj to, kad darytų AB x AC , buvo pasirinkta daryti AC x AB. Atsakymas yra taip, šių trijų taškų nustatyta plokštuma yra unikali ir turi du normalius vektorius, kaip parodyta 2 paveiksle.

Taškas, pasirinktas kaip vektorių kilmė, nėra problemų renkantis bet kurį iš kitų dviejų.

Nuorodos

1. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. Kinematika. Redagavo Douglas Figueroa (USB). 31–62.
2. Normalumo ieškojimas plokštumai. Atkurta iš: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Apskaičiavimas ir analitinė geometrija. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Linijos ir plokštumos R 3. Atkurta iš: math.harvard.edu.
5. Normalus vektorius. Atkurta iš mathworld.wolfram.com.