KARTU VYKSTANTYS VEKTORIAI: CHARAKTERISTIKOS, PAVYZDŽIAI IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Kartu vykstantys vektoriai yra vektorių grupės, kurių ašys sutampa viename taške, sudarydamos tarp kiekvienos vidinės ir išorinės kitos kampo poras. Aiškus pavyzdys pateiktas paveikslėlyje žemiau, kur A, B ir C yra vektoriai, lygiagrečiai vienas su kitu.

D ir E skirtingai nei kiti. Tarp lygiagrečių vektorių AB, AC ir CB susidaro kampai. Jie vadinami santykio kampais tarp vektorių.

charakteristikos

-Jie turi bendrą tašką, kuris sutampa su jų kilme: visi kartu esančių vektorių dydžiai prasideda nuo bendro taško iki atitinkamų galų.

- Kilmė laikoma vektoriaus veikimo tašku: turi būti nustatytas veikimo taškas, kurį tiesiogiai paveiks kiekvienas iš lygiagrečių vektorių.

-Its domeno plokštumoje ir erdvėje yra R ² ir R ³ atitinkamai: lygiagrečiai atliekamų vektoriai yra laisvai apima visą geometrinę erdvę.

- Leidžia skirtingus žymėjimus toje pačioje vektorių grupėje. Pagal tyrimo sritis operacijų su vektoriais metu yra įvairių žymėjimų.

Vektorių tipai

Vektorių šaka turi kelis poskyrius, tarp kai kurių juos galima įvardyti: lygiagrečius, statmenis, koplanarinius, atitinkamus, priešingus ir vienetinius. Čia išvardyti lygiagrečiai veikiantys vektoriai. Kaip ir visi aukščiau paminėti, jie turi daugybę pritaikymų įvairiuose moksluose.

Jie yra labai paplitę tiriant vektorius, nes jie yra naudingi apibendrinimai atliekant operacijas su jais. Tiek plokštumoje, tiek erdvėje lygiagrečiai vektoriai dažniausiai naudojami skirtingiems elementams vaizduoti ir jų įtakai tam tikrai sistemai tirti.

Vektorių žymėjimas

Yra keli būdai, kaip pavaizduoti vektorinį elementą. Pagrindiniai ir žinomiausi yra šie:

Dekarto

Siūlomas tas pats matematinis metodas, jis vektorius žymi trigubu, atitinkančiu kiekvienos ašies didumą (x, y, z).

A: (1, 1, -1) Erdvė A: (1, 1) plokštuma

Poliarinis

Jie naudojami tik vektoriams žymėti plokštumoje, nors integruotajame skaičiavime jam priskiriamas gylio komponentas. Jį sudaro tiesinis dydis r ir kampas polinės ašies Ɵ atžvilgiu.

A: (3, 45 ⁰ ) A plokštuma: (2, 45 ⁰ , 3) Erdvė

Analitinis

Jie nusako vektoriaus dydį, naudodami versores. Versijos (i + j + k) žymi vieneto vektorius, atitinkančius ašis X, Y ir

A: 3i + 2j - 3k

Sferinis

Jie yra panašūs į poliarinį žymėjimą, tačiau pridedami ir antrasis kampas, einantis per xy plokštumą, kurį simbolizuoja δ.

A: (4, 60 ^arba , π / 4)

Kartu vykdomos vektorinės operacijos

Lyginamieji vektoriai dažniausiai naudojami apibrėžti operacijas tarp vektorių, nes lengviau palyginti vektorių elementus, kai jie pateikiami kartu.

Suma (A + B)

Vienu metu naudojamų vektorių suma siekiama surasti gautą vektorių V _r . Kuri, atsižvelgiant į studijų šaką, atitinka galutinį veiksmą

Pvz .: 3 stygos {A, B, C} pririšamos prie dėžutės, kiekvienos eilutės galą laiko vienas subjektas. Kiekvienas iš 3 tiriamųjų privalo lyną traukti kita linkme nei kiti 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + pagal + cy; az + bz + cz) = V _r

Dėžutė galės judėti tik viena kryptimi, todėl V _r parodys dėžutės judėjimo kryptį ir kryptį.

Skirtumas (A – B)

Yra daugybė kriterijų, susijusių su vektorių skirtumu, daugelis autorių pasirenka jį neįtraukti ir teigia, kad nurodoma tik suma tarp vektorių, kai skirtumas yra apie priešingo vektoriaus sumą. Tiesa ta, kad vektoriai gali būti atimti algebrine prasme.

A: (kirvis, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skaliarinis produktas (A. B)

Taip pat žinomas kaip taškinis produktas, jis sukuria skalinę vertę, kuri gali būti susieta su įvairiais dydžiais, atsižvelgiant į tyrimo šaką.

Geometrijai nurodykite paralelės diagramos plotą, kurį lygiagrečių vektorių pora sudarė lygiagretainio metodu. Mechaninei fizikai jis apibūdina jėgos F atliktą darbą judant kūnu atstumu Δr.

ѡ = F . Δr

Kaip rodo jo pavadinimas, jis sukuria skaliarinę vertę ir yra apibūdinamas taip:

Tegu vektoriai A ir B būna

A: (kirvis, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analitinė forma:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Kur θ yra abiejų vektorių vidinis kampas

-Algebrinė forma:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Kryžminis produktas (A x B)

Vektorius produktas ar taškas produktas tarp dviejų vektorių, apibrėžia trečiąjį vektoriaus C , turintį statmena kokybę B ir C . Fizikoje sukimo momento vektorius τ yra pagrindinis sukimosi dinamikos elementas.

-Analitinė forma:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebrinė forma:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - asy. Bx) k

- Santykinis judėjimas: r _{A / B}

Reliatyvumo pagrindas yra santykinis judesys, o lygiagrečiai vektoriai yra santykinio judesio pagrindas. Santykines padėtis, greitį ir pagreitį galima apskaičiuoti taikant šią idėjų tvarką.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Santykinė A padėtis B atžvilgiu

v _{A / B} = v _A - v _B ; Santykinis A greitis B atžvilgiu

a _{A / B} = a _A - _{A B} ; Santykinis A pagreitis B atžvilgiu

Pavyzdžiai: išspręsti pratimai

1 pratimas

Tegul A, B ir C yra kartu esantys vektoriai.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Nustatykite gautą vektorių V _r = 2A – 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

- Apibrėžkite taškinį gaminį (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

Apskaičiuokite kampą tarp A ir C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Kur θ yra trumpiausias kampas tarp vektorių

θ = 88,63 ⁰

- Suraskite vektorių, statmeną A ir B

Tam reikia apibrėžti vektoriaus sandaugą tarp (-1, 3, 5) ir (3, 5, -2). Kaip paaiškinta anksčiau, sudaroma 3 x 3 matrica, kurioje pirmoji eilutė sudaryta iš trigubo vieneto vektorių (i, j, k). Tada 2 ir 3 eilutes sudaro vektoriai, kad veiktų, laikydamiesi operacijų tvarkos.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

2 pratimas

Tegul V _a ir V _{b yra} atitinkamai A ir B greičio vektoriai. Apskaičiuokite iš A matomą B greitį.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Tokiu atveju reikalingas santykinis B greitis A V _{B / A} atžvilgiu

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Tai yra B greičio vektorius, matytas iš A. Kai aprašomas naujas B greičio vektorius, atsižvelgiant į A padėtyje esantį stebėtoją ir judant A greičiu.

Siūlomi pratimai

1-Sukurkite 3 vektorius A, B ir C, kurie yra vienu metu ir susieja 3 operacijas tarp jų per praktinę užduotį.

2-Leiskite vektoriams A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) ir C: (-2, -1, 10). Raskite vektorius statmenai: A ir B, C ir B, A + B + C suma.

4 -Nustatykite 3 vektorius, statmenis vienas kitam, neatsižvelgdami į koordinačių ašis.

5 - Apibrėžkite darbą, kurį atlieka jėga, pakelianti 5 kg masės bloką iš 20 m gylio šulinio dugno.

6-Algebrai parodykite, kad vektorių atimtis yra lygi priešingo vektoriaus sumai. Pateisinkite savo postulatus.

7 - žymėkite vektorių visose šiame straipsnyje pateiktose žymėse. (Dekarto, poliarinis, analitinis ir sferinis).

8 - Magnetą, kurį veikia ant stalo esantis magnetas, sukuria šie vektoriai; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Nustatykite, kuria kryptimi juda magnetas, jei visos magnetinės jėgos veikia tuo pačiu metu.

Nuorodos

1. Euklido geometrija ir transformacijos. Clayton W. Dodge. Kurjerių korporacija, sausio 1 d 2004 metai
2. Kaip išspręsti taikomąsias matematikos problemas L. Moiseiwitsch. Kurjerių korporacija, balandžio 10 d 2013 metai
3. Pagrindinės geometrijos sąvokos. Walteris Prenowitzas, Meyeris Jordanas. „Rowman & Littlefield“, spalio 4 d. 2012 metai
4. Vektoriai. Rocío Navarro Lacoba, birželio 7 d. 2014 metai
5. Tiesinė algebra. Bernardas Kolmanas, Davidas R. Hillas. „Pearson Education“, 2006 m