VEKTORIAI ERDVĖJE: KAIP SUDARYTI GRAFIKĄ, APLIKACIJOS, PRATIMAI - FIZINIS - 2025

Vektoriaus erdvėje yra viskas, atstovaujama koordinačių sistemos apskaičiuojamas pagal X, Y, ir Z. Dažniausiai xy plokštuma yra horizontali paviršiaus plokštuma, o z ašis žymi aukštį (arba gylį).

Dekarto koordinačių ašys, parodytos 1 paveiksle, padalija erdvę į 8 sritis, vadinamas oktantais, analogiškai kaip x - y ašys padalija plokštumą į 4 kvadrantus. Tuomet turėsime 1-ą, 2-ą ir 2 dalis.

1 pav. Vektorius erdvėje. Šaltinis: pačių sukurtas.

1 paveiksle pateiktas vektoriaus v vaizdas erdvėje. Tam, kad ekrano plokštumoje būtų sukurta trijų matmenų iliuzija, reikalinga tam tikra perspektyva, kuri pasiekiama nubrėžus įstrižą vaizdą.

Norėdami pavaizduoti 3D vektorių, reikia naudoti punktyrines linijas, kurios tinklelyje nustato v projekcijos arba „šešėlio“ xy paviršiuje koordinates. Ši iškyša prasideda ties O ir baigiasi žaliuoju tašku.

Ten nuėję, jūs turite tęsti išilgai vertikalės iki reikiamo aukščio (arba gylio) pagal z reikšmę, kol pasieksite P. Vektorius nubrėžtas pradedant nuo O ir baigiant tašku P, kuris pavyzdyje yra 1-asis oktantas.

Programos

Kosmoso vektoriai yra plačiai naudojami mechanikoje ir kitose fizikos ir inžinerijos srityse, nes mus supančioms konstrukcijoms reikalinga trijų matmenų geometrija.

Padėties vektoriai erdvėje yra naudojami objektams nustatyti atskaitos taško, vadinamo OR kilme, atžvilgiu, todėl jie taip pat yra būtini įrankiai navigacijai, tačiau tai dar ne viskas.

Jėgos, veikiančios tokias konstrukcijas kaip varžtai, laikikliai, kabeliai, atramos ir kita, yra vektorinės prigimties ir orientuotos erdvėje. Norint žinoti jo poveikį, būtina žinoti jo adresą (ir taikymo tašką).

Ir dažnai jėgos kryptis yra žinoma žinant du taškus erdvėje, priklausančius jo veikimo linijai. Tokiu būdu jėga yra:

F = F u

Kur F yra dydis arba dydis jėgos ir u yra vienetas vektoriaus (modulis 1) nukreipta išilgai veiksmų linija F .

Žymėjimai ir 3D vektoriniai vaizdai

Prieš pradėdami spręsti kai kuriuos pavyzdžius, trumpai apžvelgsime 3D vektorių žymėjimą.

1 paveiksle pateiktame pavyzdyje vektorius v, kurio pradinis taškas sutampa su ištaka O ir kurio galas yra taškas P, turi teigiamas xyz koordinates, o y koordinatė yra neigiama. Šios koordinatės yra: x ₁ , y ₁ , z ₁ , kurios tiksliai yra P koordinatės.

Taigi, jei turime vektorių, susietą su kilme, ty kurio pradinis taškas sutampa su O, labai lengva nurodyti jo koordinates, kurios bus kraštutinio taško arba P. Norėdami atskirti tašką nuo vektoriaus, mes panaudosime paskutinės paryškintos raidės ir skliaustuose:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Nors taškas P žymimas skliaustuose:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Kitas vaizdas parodo vienetinius vektorius i , j ir k , apibrėžiančius atitinkamai tris erdvės kryptis x, y ir z ašyse.

Šie vektoriai yra statmeni vienas kitam ir sudaro ortonorminį pagrindą (žr. 2 pav.). Tai reiškia, kad 3D vektorių galima apibūdinti taip:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Vektoriaus kampai ir režisieriaus kosinusai

2 paveiksle taip pat pavaizduoti direktoriaus kampai γ ₁ , γ ₂ ir γ ₃ , kuriuos vektorius v sudaro atitinkamai x, y ir z ašims. Žinant šiuos kampus ir vektoriaus dydį, jis yra visiškai nustatytas. Be to, režisieriaus kampų kosinusai atitinka šiuos santykius:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

2 pav. Vienetų vektoriai i, j ir k nustato 3 prioritetines erdvės kryptis. Šaltinis: pačių sukurtas.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

2 paveiksle kampai γ ₁ , γ ₂ ir γ ₃ , kuriuos sudaro 50 modulio vektorius v su koordinačių ašimis, yra atitinkamai: 75,0º, 60,0º ir 34,3º. Raskite šio vektoriaus Dekarto komponentus ir parodykite jį vieneto vektorių i , j ir k atžvilgiu .

Sprendimas

Vektoriaus v projekcija į x ašį yra v _x = 50. cos 75º = 12,941. Tuo pačiu būdu v projekcija y ašyje yra v _y = 50 cos 60 º = 25 ir pagaliau ant z ašies yra v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Dabar v gali būti išreikštas taip:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- 2 pratimas

Raskite įtempimus kiekviename iš kabelių, laikančių kibirą pusiausvyroje esančiame paveiksle, jei jo svoris yra 30 N.

3 pav. 2 pratimo įtempių schema.

Sprendimas

Ant kibiro laisvojo kūno schema rodo, kad T _D (žalia) atsveria svorį W (geltona), todėl T _D = W = 30 N.

Mazge vektorius T _D nukreiptas vertikaliai žemyn, tada:

T _D = 30 (- k ) N.

Norėdami nustatyti likusią įtampą, atlikite šiuos veiksmus:

1 veiksmas: raskite visų taškų koordinates

A = (4.5,0,3) (A yra sienos plokštumoje xz)

B = (1,5,0,0) (B yra ant x ašies)

C = (0, 2,5, 3) (C yra sienos plokštumoje ir z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D yra horizontalioje xy plokštumoje)

2 žingsnis: Suraskite vektorius kiekviena kryptimi, atimdami pabaigos ir pradžios koordinates

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; vienas; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

3 žingsnis: Apskaičiuokite modulius ir vienetų vektorius

Vienetinis vektorius gaunamas naudojant išraišką: u = r / r, kai r (paryškintas) yra vektorius, o r (be paryškinimo) yra minėto vektoriaus modulis.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; vienas; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -vienas; 0>

u _D = <0; 0; -1>

4 žingsnis: išreikškite visus įtempius kaip vektorius

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -vienas; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

5 žingsnis: Taikykite statinę pusiausvyros sąlygą ir išspręskite lygčių sistemą

Galiausiai kaušui taikoma statinės pusiausvyros sąlyga, kad visų mazgo jėgų vektoriaus suma būtų lygi nuliui:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Kadangi įtempiai yra erdvėje, tai sudarys trijų lygčių sistemą kiekvienam įtempių komponentui (x, y ir z).

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Tirpalas yra toks: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Nuorodos

1. Bedford, 2000. A. Inžinerinė mechanika: Statika. Adisonas Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Serija: Fizika mokslams ir inžinerijai. 1 tomas. Kinematika 31–68.
3. Fizinis. 8 modulis: Vektoriai. Atgauta iš: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika inžinieriams. Statinis 6-asis leidimas. Kontinentinės leidybos įmonė. 15–53.
5. Vektorių papildymo skaičiuoklė. Atgautas iš: 1728.org