LANKAS (GEOMETRIJA): MATAS, ARKŲ TIPAI, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2024

Lankas , geometrijos, yra bet kokia lenkta linija, kuri jungia du taškus. Išlenkta linija, skirtingai nuo tiesios, yra ta, kurios kryptis kiekviename jos taške skiriasi. Priešinga lankui yra segmentas, nes tai yra tiesi atkarpa, jungianti du taškus.

Lankas, dažniausiai naudojamas geometrijoje, yra apskritimo arka. Kitos įprastai naudojamos arkos yra parabolinė arka, elipsinė ir kontaktinio tinklo arka. Arkos forma taip pat dažnai naudojama architektūroje kaip dekoratyvinis ir konstrukcinis elementas. Tai taikoma durų ir langų sąramoms, taip pat tiltams ir akveduktams.

1 paveikslas. Vaivorykštė yra išlenkta linija, jungianti du taškus horizonte. Šaltinis: „Pixabay“

Arka ir jos matas

Lanko matas yra jo ilgis, kuris priklauso nuo kreivės, jungiančios du taškus, tipo ir jų vietos.

Apskritimo lanko ilgis yra vienas iš paprasčiausių apskaičiuoti, nes yra žinomas viso lanko ar apskritimo perimetro ilgis.

Apskritimo perimetras yra du pi kartus didesnis už jo spindulį: p = 2 π R. Žinant tai, jei norime apskaičiuoti kampo α (matuojamo radianais) ir spindulio R apskritimo lanko ilgį s, taikoma proporcija:

(s / p) = (α / 2 π)

Tada, pašalindami s iš ankstesnės išraiškos ir pakeisdami jos išraišką p perimetrą kaip spindulio R funkciją, turime:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Tai yra, apskrito lanko matas yra jo kampo atidarymo ir apskritimo lanko spindulio sandauga.

Apskritai arkai problema yra sudėtingesnė tiek, kad didieji antikos mąstytojai teigė, kad tai neįmanoma užduotis.

Tik diferencialo ir vientiso skaičiavimo atsiradimas 1665 m. Buvo patenkinamai išspręsta bet kurio lanko matavimo problema.

Prieš išradiant diferencialinį skaičiavimą, sprendimus buvo galima rasti tik naudojant daugiakampes linijas arba apskritimo lankus, kurie apytiksliai atitiko tikrąjį lanką, tačiau šie sprendimai nebuvo tikslūs.

Lankų tipai

Geometrijos požiūriu lankai klasifikuojami pagal išlenktą liniją, jungiančią du taškus plokštumoje. Yra ir kitų klasifikacijų pagal naudojimą ir architektūrinę formą.

Apskritimo lankas

Kai linija, jungianti du taškus plokštumoje, yra tam tikro spindulio apskritimo gabalas, mes turime apskrito lanką. 2 paveiksle pavaizduotas apskritimo lankas c, kurio spindulys R jungia taškus A ir B.

2 pav. R spindulio apskritimo lankas, jungiantis taškus A ir B. Parengė Ricardo Pérez.

Parabolinė arka

Parabolė yra kelias, kurį eina įstrižai į orą išmestas daiktas. Kai kreivė, jungianti du taškus, yra parabolė, tada mes turime tokį parabolinį lanką, kaip parodyta 3 paveiksle.

3 paveikslas. Parabolinis lankas, jungiantis taškus A ir B. Parengė Ricardo Pérez.

Tai yra vandens srovės forma, išeinanti iš žarnos, nukreiptos į viršų. Parabolinį lanką galima pastebėti vandens šaltiniuose.

4 pav. Parabolinė arka, kurią vanduo suformavo iš fontano Drezdene. Šaltinis: „Pixabay“.

Catenary arch

Kontaktinio ryšio arka yra dar viena natūrali arka. Kabelis yra kreivė, kuri susidaro natūraliai, kai grandinė ar virvė kabo laisvai iš dviejų atskirų taškų.

5 pav. Tinklelinės arkos ir palyginimas su paraboline arka. Parengė Ricardo Pérez.

Katerija yra panaši į parabolę, tačiau ji nėra visiškai tokia pati, kaip matyti 4 paveiksle.

Apversta kontaktinė arka naudojama architektūroje kaip didelio stiprio gniuždantis konstrukcinis elementas. Tiesą sakant, gali būti įrodyta, kad jis yra stipriausias lanko tipas tarp visų įmanomų formų.

Norėdami pastatyti tvirtą kontaktinę arką, tiesiog nukopijuokite kabančios virvės ar grandinės formą, tada nukopijuota forma yra apversta, kad ji būtų atkurta ant durų ar lango sąramos.

Elipsinė arka

Lankas yra elipsės formos, jei kreivė, jungianti du taškus, yra elipsės dalis. Elipsė apibrėžiama kaip taškų, kurių atstumas iki dviejų nurodytų taškų visada padidėja, pastovus dydis.

Elipsė yra kreivė, atsirandanti gamtoje: tai yra planetų aplink Saulę trajektorijos kreivė, kaip parodė Johanesas Kepleris 1609 m.

Praktiškai elipsę galima nubrėžti, pritvirtinant du statramsčius prie žemės arba du kaiščius popieriaus lape ir susiejant juos su virve. Tada virvė priveržiama žymekliu ar pieštuku ir kreivė nusekama. Elipsės gabalas yra elipsės formos lankas. Ši animacija iliustruoja, kaip nupiešta elipsė:

5 pav. Elipsės sekimas naudojant įtemptą virvę. Šaltinis: „Wikimedia Commons“

6 paveiksle parodytas elipsinis lankas, jungiantis taškus G ir H.

6 pav. Elipsinė arka, jungianti du taškus. Parengė Ricardo Pérez.

Arkos pavyzdžiai

Šie pavyzdžiai nurodo, kaip apskaičiuoti tam tikrų arkų perimetrą.

1 pavyzdys

7 paveiksle pavaizduotas langas, baigtas supjaustytu apskritimo lanku. Paveikslėlyje matomi matmenys yra pėdomis. Raskite lanko ilgį.

7 paveikslas. Lango apskritimo lanko ilgio apskaičiavimas. (Nuosavas komentaras - lango vaizdas „Pixabay“)

Norėdami gauti lango sąramos apskritimo lanko centrą ir spindulį, paveikslėlyje pateikiamos šios konstrukcijos:

- Nubraižytas segmentas KL ir nupieštas jo bisektorius.

-Tada yra aukščiausias sąramos taškas, kurį mes vadiname M. Toliau nagrinėjamas KM segmentas ir atsekiama jo tarpinė grandis.

Dviejų bisektorių įsikišimas yra taškas N ir taip pat yra apskritimo lanko centras.

-Dabar turime išmatuoti NM segmento ilgį, kuris sutampa su apskritimo lanko spinduliu R: R = 2,8 pėdos.

-Norėdami žinoti lanko ilgį, be jo spindulio, būtina žinoti kampą, kurį formuoja lankas. Kuris gali būti nustatomas dviem metodais, arba jis matuojamas proraktoriumi, arba apskaičiuojamas naudojant trigonometriją.

Parodytu atveju lanko suformuotas kampas yra 91,13º, kuris turi būti pakeistas į radianus:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianai

Galiausiai apskaičiuojame lanko ilgį s pagal formulę s = α R.

s = 1,59 * 2,8 pėdos = 4,45 pėdos

2 pavyzdys

Suraskite elipsės lanko ilgį, parodytą 8 paveiksle, žinodami elipsės pusiau pagrindinę ašį r ir pusiau mažąją ašį s.

8 pav. Elipsinė arka tarp GH. Parengė Ricardo Pérez.

Elipsės ilgio nustatymas ilgą laiką buvo viena iš sunkiausių matematikos problemų. Galite gauti sprendimus, išreikštus elipsiniais integralais, tačiau norėdami gauti skaitinę reikšmę, turite išplėsti šiuos integralius galios eilutėse. Tiksliam rezultatui prireiks begalinės tų serijų sąlygos.

Laimei, indų matematikos genijus Ramanujanas, gyvenęs nuo 1887 iki 1920 m., Rado formulę, kuri labai tiksliai apytiksliai apibūdina elipsės perimetrą:

Elipsės, kurios r = 3 cm ir s = 2,24 cm, perimetras yra 16,55 cm. Tačiau parodytas elipsės lankas turi pusę šios vertės:

Elipsinės arkos ilgis GH = 8,28 cm.

Nuorodos

1. Clemens S. 2008. Geometrija ir trigonometrija. „Pearson Education“.
2. García F. Skaitmeninės procedūros „Java“. Elipsės ilgis. Atkurta iš: sc.ehu.es
3. Dinaminė geometrija. Lankai. Atkurta iš geometriadinamica.es
4. Piziadas. Aplink mus elipsės ir parabolai. Atgauta iš: piziadas.com
5. Vikipedija. Arka (geometrija). Atkurta iš: es.wikipedia.com