PAVEIKSLĖLIAI IŠ EILĖS (KAI UŽDUOTYS IŠSPRĘSTOS) - MATEMATIKA - 2025

Kad vienas po kito einančių dariniai yra tų, kurie gaunami iš vieno funkcija po antrojo darinio. Eilinių išvestinių skaičiavimo procesas yra toks: turime funkciją f, kurią galime išvesti ir taip gauti išvestinės funkciją f '. Šį f darinį galime išvesti dar kartą, gaudami (f ')'.

Ši nauja funkcija vadinama antruoju dariniu; visos išvestinės išvestinės skaičiuojamos iš antrosios; Šie, dar vadinami aukštesniąja tvarka, yra puikūs taikymai, tokie kaip informacijos apie funkcijos grafiko brėžinį pateikimas, antrojo darinio santykinių kraštutinumų bandymas ir begalinės eilutės nustatymas.

Apibrėžimas

Naudodami Leibnizo žymėjimą, turime išvadą, kad funkcijos „y“ darinys „x“ atžvilgiu yra dy / dx. Norėdami išreikšti antrąjį „y“ darinį naudodami Leibnizo žymėjimą, rašome taip:

Apskritai, mes galime išreikšti vienas po kito einančius darinius su Leibnizo žymėjimu, kur n reiškia išvestinės eiliškumą.

Naudojami šie žymėjimai:

Keletas pavyzdžių, kur galime pamatyti skirtingas nuorodas:

1 pavyzdys

Gauti visi funkcijos f apibrėžimai, apibrėžti taip:

Naudodami įprastus išvedimo būdus, turime išvadą, kad f darinys yra:

Kartodami procesą galime gauti antrąjį darinį, trečiąjį darinį ir pan.

Atminkite, kad ketvirtasis darinys yra lygus nuliui, o nulinis darinys yra lygus nuliui, todėl turime:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ketvirtą šios funkcijos darinį:

Išvestos duotos funkcijos rezultatas:

Greitis ir pagreitis

Viena iš motyvų, paskatinusių atrasti darinį, buvo momentinio greičio apibrėžimo paieška. Formalus apibrėžimas yra toks:

Tegul y = f (t) yra funkcija, kurios grafikas apibūdina dalelės trajektoriją laiko momentu t, tada jos greitį laiko momentu t išreiškia:

Gavę dalelės greitį, galime apskaičiuoti momentinį pagreitį, kuris apibūdinamas taip:

Dalelės, kurios kelias nurodomas y = f (t), momentinis pagreitis yra:

1 pavyzdys

Dalelė juda linija pagal padėties funkciją:

Kur „y“ matuojamas metrais, o „t“ - sekundėmis.

- Kokiu momentu jo greitis yra 0?

- Kokiu momentu jos pagreitis yra 0?

Išvesdami padėties funkcijas «ir», turime įsitikinti, kad jos greitį ir pagreitį atitinkamai apskaičiuoja:

Norint atsakyti į pirmąjį klausimą, pakanka nustatyti, kada funkcija v tampa lygi nuliui; tai yra:

Analogiškai tęsiame šį klausimą:

2 pavyzdys

Dalelė juda linija pagal šią judesio lygtį:

Nustatykite „t, y“ ir „v“, kai a = 0.

Žinant, kad greitį ir pagreitį suteikia

Mes imame ir gauname:

Padarę = 0, turime:

Iš kur galime daryti išvadą, kad t reikšmė a lygi nuliui yra t = 1.

Tada, įvertinę padėties funkciją ir greičio funkciją t = 1, turime:

Programos

Aiškus išvedimas

Paeiliui būdingus išvestinius darinius galima gauti netiesioginiu išvestiniu būdu.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šią elipsę, raskite „y“:

Netiesiogiai išvesdami x atžvilgiu, turime:

Tuomet netiesiogiai atsimindami x atžvilgiu, gauname:

Galiausiai turime:

Santykiniai kraštutinumai

Kitas panaudojimas, kurį galime suteikti antrosios eilės dariniams, yra apskaičiuojant funkcijos santykinius kraštutinumus.

Pirmojo darinio kriterijus vietiniams kraštutinumams nurodo, kad jei intervale (a, b) turime nepertraukiamą funkciją f ir yra c, priklausantis minėtam intervalui, f 'dingsta c (tai yra, kad c yra kritinis taškas), gali atsirasti vienas iš trijų atvejų:

- Jei f´ (x)> 0 bet kuriam x, priklausančiam (a, c), ir f´ (x) <0, jei x priklauso (c, b), tada f (c) yra vietinė didžiausia.

- Jei f´ (x) <0 bet kuriam x, priklausančiam (a, c), ir f´ (x)> 0, jei x priklauso (c, b), tada f (c) yra vietinis minimumas.

- Jei f´ (x) turi tą patį ženklą a, c ir c, b punktuose, tai reiškia, kad f (c) nėra vietinis kraštutinumas.

Naudodamiesi antrosios išvestinės kriterijumi, mes galime sužinoti, ar kritinis funkcijos skaičius yra vietinis maksimalus, ar mažiausias, ir nereikia pamatyti, koks yra funkcijos ženklas aukščiau nurodytais intervalais.

Antrojo dreifo kriterijus nurodo, kad jei f´ (c) = 0 ir kad f´´ (x) yra ištisinis (a, b), tai atsitinka taip, kad jei f´´ (c)> 0, tada f (c) yra vietinis minimumas ir jei f´´ (c) <0, tada f (c) yra vietinis maksimumas.

Jei f´´ (c) = 0, mes nieko negalime padaryti.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į funkciją f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , suraskime santykinius f maksimumus ir minimumus, naudodamiesi antrojo darinio kriterijumi.

Pirmiausia apskaičiuojame f´ (x) ir f´´ (x) ir turime:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Dabar f´ (x) = 0 tada ir tik tada, kai 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ir tai atsitinka, kai x = 0, x = 1 arba x = - 2.

Norint nustatyti, ar gauti kritiniai skaičiai yra santykiniai kraštutinumai, pakanka įvertinti f'´ ir taip stebėti jo ženklą.

f´´ (0) = - 8, taigi f (0) yra vietinis maksimumas.

f´´ (1) = 12, taigi f (1) yra vietinis minimumas.

f´´ (- 2) = 24, taigi f (- 2) yra vietinis minimumas.

Taylor serija

Tegul f yra funkcija, apibrėžta taip:

Ši funkcija turi konvergencijos spindulį R> 0 ir turi visų (- R, R) eilių išvestines. Paeiliniai f dariniai suteikia mums:

Paėmę x = 0, galime gauti _n reikšmes kaip jų darinių funkciją:

Jei imsime funkciją f = 0 (tai yra, f ^ 0 = f), tada funkciją galime perrašyti taip:

Dabar apsvarstykime funkciją kaip galių seką x = a:

Jei atliktume analizę, panašią į ankstesnę, funkciją f galėtume įrašyti taip:

Šios serijos yra žinomos kaip Taylor serijos nuo f iki a. Kai a = 0, turime konkretų atvejį, vadinamą „Maclaurin“ serija. Šis serijos tipas turi didelę matematinę reikšmę, ypač atliekant skaitinę analizę, nes jų dėka mes galime apibrėžti kompiuterių funkcijas, tokias kaip e ^x , sin (x) ir cos (x).

Pavyzdys

Gaukite „Maclaurin“ seriją, skirtą „e ^x“ .

Atminkite, kad jei f (x) = e ^x , tada f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x ir f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, taigi jos „Maclaurin“ serija yra:

Nuorodos

1. Frankas Ayresas, J., ir Mendelsonas, E. (nd). Skaičiavimas 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Skaičiavimas naudojant analitinę geometriją. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
4. Saenz, J. (2005). Diferencialinis skaičiavimas. Hipotenuzė.
5. Saenz, J. (nd). Integruotasis skaičiavimas. Hipotenuzė.