POLINOMOS LYGTYS (SU UŽDUOTIMIS IŠSPRĘSTA) - MATEMATIKA - 2025

Į polinominių lygtys yra teiginys, kad kelia dvi formules ar narių, kuriose bent viena iš sąlygų, kurios daro lygybę iki kiekvieno lygybės pusė yra polinomai P (x). Šios lygtys pavadintos pagal jų kintamųjų laipsnį.

Paprastai lygtis yra teiginys, nustatantis dviejų išraiškų lygybę, kai bent vienoje iš jų yra nežinomų dydžių, vadinamų kintamaisiais arba nežinomaisiais. Nors yra daugybė lygčių tipų, jos paprastai skirstomos į dvi rūšis: algebrinę ir transcendentinę.

Polinominėse lygtyse yra tik algebrinės išraiškos, kurių lygtyje gali būti vienas ar keli nežinomi dalykai. Pagal eksponentą (laipsnį) jie gali būti klasifikuojami į: pirmąjį laipsnį (linijinis), antrąjį laipsnį (kvadratinį), trečiąjį laipsnį (kubinį), ketvirtąjį laipsnį (ketvirtinį), laipsnį, didesnį ar lygų penkiems, ir neracionalų.

charakteristikos

Polinominės lygtys yra išraiškos, susidarančios iš dviejų polinomų lygybės; tai yra, iš baigtinių sumų, paimtų iš nežinomų (kintamieji) ir fiksuotų skaičių (koeficientai), kai kintamieji gali turėti eksponentus, o jų reikšmė gali būti teigiamas sveikasis skaičius, įskaitant nulį, daugyba.

Eksponentai nustato lygties laipsnį ar tipą. Terminas išraiškai, turinčiam aukščiausią eksponentą, parodys absoliučiąjį polinomo laipsnį.

Polinominės lygtys taip pat žinomos kaip algebrinės, jų koeficientai gali būti realieji arba sudėtingieji skaičiai, o kintamieji yra nežinomi skaičiai, pavaizduoti raide, pvz .: „x“.

Pakeitus kintamojo „x“ reikšmę P (x), rezultatas lygus nuliui (0), tada sakoma, kad ši vertė atitinka lygtį (tai yra sprendimas), ir ji paprastai vadinama daugianario šaknimi.

Kurdami polinominę lygtį norite rasti visas šaknis ar sprendimus.

Tipai

Yra keli polinominių lygčių tipai, kurie yra diferencijuojami pagal kintamųjų skaičių, taip pat pagal jų eksponentų laipsnį.

Taigi polinomos lygtys, kai jos pirmasis terminas yra daugianaris, turintis vieną nežinomą, atsižvelgiant į tai, kad jo laipsnis gali būti bet kuris natūralusis skaičius (n), o antrasis terminas yra lygus nuliui, gali būti išreikštas taip:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Kur:

- _{n n,} a _n-1 ir ₀ yra tikrieji koeficientai (skaičiai).

- a _n skiriasi nuo nulio.

- Eksponentas n yra teigiamas sveikasis skaičius, kuris parodo lygties laipsnį.

- x yra kintamasis arba nežinoma, kurio reikia ieškoti.

Absoliutus ar didesnis polinomos lygties laipsnis yra eksponentas, kurio didžiausia reikšmė yra tarp visų tų, kurie sudaro polinomą; taigi lygtys klasifikuojamos taip:

Pirma klasė

Pirmojo laipsnio polinominės lygtys, dar žinomos kaip tiesinės lygtys, yra tokios, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 1, daugianario forma yra P (x) = 0; y sudaro tiesinis ir savarankiškasis terminas. Jis parašytas taip:

kirvis + b = 0.

Kur:

- a ir b yra tikrieji skaičiai ir a ≠ 0.

- kirvis yra linijinis terminas.

- b yra savarankiškas terminas.

Pavyzdžiui, lygtis 13x - 18 = 4x.

Norint išspręsti tiesines lygtis, visos sąlygos, kuriose yra nežinomas x, turi būti perkeltos į vieną lygybės pusę, o tos, kurios neturi, pereina į kitą pusę, kad ją išspręstų ir gautų sprendimą:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Taigi pateiktoje lygtyje yra tik vienas sprendimas arba šaknis, tai yra x = 2.

Antra klasė

Antrojo laipsnio polinominės lygtys, dar žinomos kaip kvadratinės lygtys, yra tokios, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 2, daugianario forma yra P (x) = 0 ir sudaryta iš kvadratinio termino , vienas tiesinis ir vienas nepriklausomas. Jis išreiškiamas taip:

kirvis ² + bx + c = 0.

Kur:

- a, b ir c yra realieji skaičiai ir a ≠ 0.

- ² ašis yra kvadratinis terminas, o „a“ - kvadratinio termino koeficientas.

- bx yra linijinis terminas, o "b" - linijinio termino koeficientas.

- c yra savarankiškas terminas.

Tirpiklis

Paprastai šio tipo lygčių sprendimas pateikiamas išvalius x iš lygties, ir tai yra vadinama tirpalu:

Ten (b ² - 4ac) vadinamas lygties skiriamuoju elementu ir ši išraiška lemia lygčių sprendimų skaičių:

- Jei (b ² - 4ac) = 0, lygtis turės vieną sprendimą, kuris yra dvigubas; tai yra, ji turės du vienodus sprendimus.

- Jei (b ² - 4ac)> 0, lygtis turės du skirtingus tikruosius sprendimus.

- Jei (b ² - 4ac) <0, lygtis neturi sprendimo (ji turės du skirtingus kompleksinius sprendimus).

Pavyzdžiui, turime lygtį 4x ² + 10x - 6 = 0, kad ją išspręstume, pirmiausia nustatydami a, b ir c terminus, o tada pakeisdami juos formulėje:

a = 4

b = 10

c = -6.

Yra atvejų, kai antrojo laipsnio polinominės lygtys neturi visų trijų terminų, todėl jos sprendžiamos skirtingai:

- Jei kvadratinės lygtys neturi tiesinio termino (tai yra, b = 0), lygtis bus išreikšta kaip ax ² + c = 0. Norėdami tai išspręsti, išspręskite x ² ir pritaikykite kvadratines šaknis kiekviename elemente. , prisimindamas, kad reikia atsižvelgti į du galimus požymius, kuriuos gali turėti nežinomasis:

kirvis ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Pavyzdžiui, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Kai kvadratinė lygtis neturi savarankiško termino (tai yra, c = 0), lygtis bus išreikšta kaip ax ² + bx = 0. Norėdami ją išspręsti, reikia paimti bendrą nežinomo x koeficientą pirmame elemente; Kadangi lygtis lygi nuliui, tiesa, kad bent vienas iš veiksnių bus lygus 0:

kirvis ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Taigi, jūs turite:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Pvz .: turime lygtį 5x ² + 30x = 0. Pirmiausia apskaičiuojame koeficientą:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Sudaromi du faktoriai, kurie yra xy (5x + 30). Manoma, kad vienas iš jų bus lygus nuliui, o kitas bus išspręstas:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Aukščiausias pažymys

Aukštojo laipsnio polinominės lygtys yra tos, kurios eina nuo trečiojo laipsnio ir kurias galima išreikšti arba išspręsti naudojant bet kurio laipsnio bendrąją polinominę lygtį:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Tai naudojama todėl, kad lygtis, kurios laipsnis didesnis nei du, yra faktoriaus daugianario rezultatas; tai yra, jis išreiškiamas kaip vieno ar didesnio laipsnio polinomų daugyba, tačiau be tikrųjų šaknų.

Šių lygčių tipų sprendimas yra tiesioginis, nes dviejų faktorių dauginimas bus lygus nuliui, jei kuris nors iš faktorių yra nulis (0); todėl turi būti išspręstos visos rastos polinominės lygtys, kiekvienos jų faktorius nustatant lygų nuliui.

Pavyzdžiui, turime trečiojo laipsnio lygtį (kubinę) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Norėdami ją išspręsti, turite atlikti šiuos veiksmus:

- Sąvokos yra sugrupuotos:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Nariai suyra, kad gautų bendrą nežinomybės faktorių:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Tokiu būdu gaunami du faktoriai, kurie turi būti lygūs nuliui:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Galima pastebėti, kad koeficientas (x ² + 4) = 0 neturės realaus sprendimo, o koeficientas (x + 1) = 0 neturi. Taigi sprendimas yra:

(x + 1) = 0

x = -1.

Išspręsta mankšta

Išspręskite šias lygtis:

Pirmas pratimas

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Sprendimas

Šiuo atveju lygtis išreiškiama daugianarių dauginimu; T. y., tai yra atsižvelgiama. Norint jį išspręsti, kiekvienas koeficientas turi būti lygus nuliui:

- 2x ² + 5 = 0, jis neturi sprendimo.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Taigi duotoji lygtis turi du sprendimus: x = 3 ir x = -1.

Antras pratimas

x ⁴ - 36 = 0.

Sprendimas

Buvo suteiktas polinomas, kurį galima perrašyti kaip kvadratų skirtumą, kad būtų pasiektas greitesnis sprendimas. Taigi lygtis yra tokia:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Norint rasti lygčių sprendimą, abu faktoriai turi būti lygūs nuliui:

(x ² + 6) = 0, jis neturi sprendimo.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Taigi pradinė lygtis turi du sprendimus:

x = √6.

x = - √6.

Nuorodos

1. Andresas, T. (2010). Matematikos olimpiados testavimas. Springeris. Niujorkas.
2. Angelas, AR (2007). Pradinė algebra. „Pearson Education“,.
3. Baeris, R. (2012). Linijinė algebra ir projektinė geometrija. Kurjerių korporacija.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: kultūra.
5. Castaño, HF (2005). Matematika prieš skaičiavimą. Medellino universitetas.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olimpinio pasirengimo matematikos žinynas. Jaume'o I. universitetas
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Aukštojoji Algebra I
8. Massara, NC-L. (devyniolika devyniasdešimt penki). 3 matematika.