Logaritminė funkcija yra matematinis ryšys, kad Associates kiekvienas teigiamas realusis skaičius x su savo logaritmo y ant pagrindo a. Šis ryšys atitinka reikalavimus būti funkcija: kiekvienas domenui priklausantis elementas x turi unikalų vaizdą.
Taigi:
Kadangi logaritmas, pagrįstas skaičiumi x, yra skaičius y, į kurį reikia pakelti pagrindą a, kad būtų gauta x.
- Bazės logaritmas visada lygus 1. Taigi f (x) = log a grafikas visada kerta x ašį taške (1,0).
- Logaritminė funkcija yra transcendentinė ir negali būti išreikšta kaip polinomas ar jų dalmuo. Be logaritmo, į šią grupę įeina ir trigonometrinės funkcijos bei eksponentas.
Pavyzdžiai
Logaritminę funkciją galima nustatyti naudojant įvairias bazes, tačiau dažniausiai naudojamos 10 ir e, kur e yra Eulerio skaičius lygus 2,71828….
Kai naudojama bazė 10, logaritmas vadinamas dešimtainiu logaritmu, paprastuoju logaritmu, Briggs'o ar tiesiog paprastu logaritmu.
Ir jei naudojamas skaičius e, tada jis vadinamas natūraliu logaritmu, po škotiško matematiko Johno Napierio, kuris atrado logaritmus.
Kiekvienam iš jų naudojama žymėjimas:
-Deimantas logaritmas: log 10 x = log x
-Neperijos logaritmas: ln x
Kai ketinate naudoti kitą bazę, būtinai nurodykite ją kaip indeksą, nes kiekvieno skaičiaus logaritmas skiriasi, atsižvelgiant į naudotiną bazę. Pvz., Jei tai 2 logaritmai, rašykite:
y = log 2 x
Pažvelkime į skaičiaus 10 trimis skirtingomis bazėmis logaritmą, kad parodytume šį tašką:
log 10 = 1
10 = 2,30259
log 2 10 = 3,332193
Įprasti skaičiuotuvai pateikia tik dešimtainius logaritmus (log funkcija) ir natūralųjį logaritmą (ln funkcija). Internete yra skaičiuotuvai su kitomis bazėmis. Bet kokiu atveju skaitytojas, naudodamasis savo pagalba, gali patikrinti, ar ankstesnės vertybės yra įvykdytos:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Maži dešimtainiai skirtumai atsiranda dėl dešimtainių skaičių, imamų skaičiuojant logaritmą.
Logaritmų pranašumai
Tarp logaritmų naudojimo pranašumų yra paprastumas, kurį jie teikia dirbdami su dideliais skaičiais, naudodami logaritmą, o ne tiesiogiai skaičių.
Tai įmanoma, nes logaritmo funkcija auga lėčiau, nes skaičiai didėja, kaip matome diagramoje.
Taigi net turint labai didelius skaičius, jų logaritmai yra daug mažesni, o manipuliuoti mažais skaičiais visada yra lengviau.
Be to, logaritmai turi šias savybes:
- Produktas : log (ab) = log a + log b
- koeficientas : log (a / b) = log a - log b
- Galia : prisijungti a b = b.log a
Tokiu būdu produktai ir koeficientai tampa mažesnių skaičių pridėjimais ir atimtimis, o įgalinimas tampa paprastu produktu, net jei galia yra didžiulė.
Štai kodėl logaritmai leidžia išreikšti skaičius, kurie kinta labai dideliais dydžių diapazonais, tokiais kaip garso stiprumas, tirpalo pH, žvaigždžių ryškumas, elektrinė varža ir žemės drebėjimų intensyvumas pagal Richterio skalę.
2 paveikslas. Norint įvertinti žemės drebėjimų stiprumą, Richterio skalėje naudojami logaritmai. Paveikslėlis rodo sugriuvusį pastatą Concepción mieste (Čilė) per žemės drebėjimą 2010. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
Pažvelkime į logaritmų savybių tvarkymo pavyzdį:
Pavyzdys
Raskite x reikšmę šia išraiška:
Atsakyk
Čia turime logaritminę lygtį, nes nežinoma, kas yra logaritmo argumente. Tai išspręsta paliekant vieną logaritmą kiekvienoje lygybės pusėje.
Pirmiausia pateikiame visus terminus, kuriuose yra „x“, kairėje nuo lygybės, ir tuos, kuriuose yra tik skaičiai dešinėje:
rąstas (5x + 1) - rąstas (2x-1) = 1
Kairėje mes atimame du logaritmus, kurie gali būti parašyti kaip koeficiento logaritmas:
log = 1
Tačiau dešinėje yra skaičius 1, kurį galime išreikšti kaip log 10, kaip matėme anksčiau. Taigi:
log = log 10
Kad lygybė būtų tiesa, logaritmų argumentai turi būti vienodi:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x 10
-15 x = -11
x = 11/15
Taikymo užduotis: Richterio skalė
1957 m. Meksikoje įvyko žemės drebėjimas, kurio stiprumas buvo 7,7 pagal Richterio skalę. 1960 m. Čilėje įvyko dar vienas didesnio masto žemės drebėjimas - 9,5.
Apskaičiuokite, kiek kartų žemės drebėjimas Čilėje buvo intensyvesnis nei Meksikoje, žinant, kad M R pagal Richterio skalę apskaičiuojamas pagal formulę:
M R = log (10 4 I)
Sprendimas
Žemės drebėjimo pagal Richterio skalę stiprumas yra logaritminė funkcija. Mes apskaičiuosime kiekvieno žemės drebėjimo intensyvumą, nes turime Richterio didumą. Padarykime tai žingsnis po žingsnio:
- Meksika : 7,7 = log (10 4 I)
Kadangi logaritmo funkcijos atvirkštinė dalis yra eksponentinė, tai pritaikome abiem lygybės pusėms ketindami spręsti I, kuris randamas logaritmo argumente.
Kadangi jie yra dešimtainiai logaritmai, bazė yra 10. Tada:
10 7,7 = 10 4 I
Meksikos žemės drebėjimo intensyvumas buvo:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Čilė : 9,5 = log (10 4 I)
Ta pati procedūra lemia Čilės I Ch žemės drebėjimo intensyvumą :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Dabar galime palyginti abu intensyvumus:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Aš M
Žemės drebėjimas Čilėje buvo maždaug 63 kartus intensyvesnis nei Meksikoje. Kadangi dydis yra logaritminis, jis auga lėčiau nei intensyvumas, todėl 1 dydžio skirtumas reiškia 10 kartų didesnę seisminės bangos amplitudę.
Skirtumas tarp abiejų žemės drebėjimų stiprumo yra 1,8, todėl galime tikėtis, kad intensyvumo skirtumas bus artimesnis 100 nei 10, kaip tai iš tikrųjų įvyko.
Tiesą sakant, jei skirtumas būtų buvęs lygiai 2, Čilės žemės drebėjimas būtų buvęs 100 kartų stipresnis nei Meksikos.
Nuorodos
- Carena, M. 2019. Ikimokyklinio universiteto matematikos žinynas. Litoral nacionalinis universitetas.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1-as. Įvairūs metai. CO-BO leidimai.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
- Larson, R. 2010. Kintamojo apskaičiavimas. 9-asis. Leidimas. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika skaičiavimui. 5-asis. Leidimas. „Cengage“ mokymasis.