TRANSCENDENTINĖS FUNKCIJOS: TIPAI, APIBRĖŽIMAS, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Į elementarius transcendentinės funkcijos yra eksponentinis, logaritminė, Trigonometric, atvirkštinis trigonometrinių funkcijų, hiperbolinės ir hiperboliczny funkcijų. Tai yra, jie yra tokie, kurių negalima išreikšti polinomu, polinomų dalijimu ar polinomų šaknimis.

Neelementarios transcendentinės funkcijos taip pat žinomos kaip specialiosios funkcijos ir tarp jų galima įvardyti klaidos funkciją. Algebrinės funkcijos (polinomai, polinomų koeficientai ir polinomų šaknys) kartu su elementariomis transcendentalinėmis funkcijomis sudaro tai, kas matematikoje yra žinoma kaip elementariosios funkcijos.

Transcendentinėmis funkcijomis taip pat laikomos tos, kurios atsiranda atlikus operacijas tarp transcendentinių funkcijų arba tarp transcendentinių ir algebrinių funkcijų. Šios operacijos yra: funkcijų suma ir skirtumas, sandauga ir funkcijų koeficientas, taip pat dviejų ar daugiau funkcijų sudėtis.

Apibrėžtis ir savybės

Eksponentinė funkcija

Tai yra tikroji tikrojo formos nepriklausomo kintamojo funkcija:

f (x) = a ^ x = a ^x

kur a yra fiksuotas teigiamas realusis skaičius (a> 0), vadinamas baze. Apatinis lankstinys arba viršutinis raštas naudojami potencialiai operacijai žymėti.

Tarkime, a = 2, tada funkcija atrodo taip:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Kuris bus įvertintas pagal kelias nepriklausomo kintamojo x reikšmes:

Žemiau yra grafikas, kuriame eksponentinė funkcija vaizduojama kelioms bazės reikšmėms, įskaitant bazę e (Neper skaičius e ≃ 2,72). Bazė e yra tokia svarbi, kad kalbant apie eksponentinę funkciją, mes manome apie e ^ x, kuri taip pat žymima exp (x).

1 pav. Įvairių bazės reikšmių eksponentinė funkcija a ^ x. (Savo parengimas)

Eksponentinės funkcijos savybės

Iš 1 paveikslo galima pastebėti, kad eksponentinių funkcijų sritis yra tikrieji skaičiai (Dom f = R ), o diapazonas arba kelias yra teigiamosios realybės (Ran f = R ⁺ ).

Kita vertus, nepaisant bazės a vertės, visos eksponentinės funkcijos praeina per tašką (0, 1) ir per tašką (1, a).

Kai bazė a> 1, funkcija didėja, o kai 0 <a <1, funkcija mažėja.

Y = a ^ x ir y = (1 / a) ^ x kreivės yra simetriškos Y ašies atžvilgiu.

Išskyrus atvejį a = 1, eksponentinė funkcija yra injekuojanti, tai yra, kiekviena vaizdo vertė atitinka vieną ir tik vieną pradinę vertę.

Logaritminė funkcija

Tai yra tikroji nepriklausomo kintamojo funkcija, pagrįsta skaičiaus logaritmo apibrėžimu. Logaritmas, pagrįstas skaičiumi x, yra skaičius y, iki kurio reikia pakelti bazę, norint gauti argumentą x:

žurnalas _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Tai yra, logaritmo funkcija, pagrįsta, yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos, paremtos funkcija.

Pavyzdžiui:

log ₂ 1 = 0, nes 2 ^ 0 = 1

Kitas atvejis, log ₂ 4 = 2, nes 2 ^ 2 = 4

Šaknies logaritmas 2 yra log ₂ √2 = ½, nes 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, nes 2 ^ (- 2) = ¼

Žemiau pateikiamas logaritmo funkcijos grafikas įvairiose bazėse.

2 pav. Įvairių bazės verčių eksponentinė funkcija. (Savo parengimas)

Logaritmo funkcijos savybės

Logaritmo funkcijos sritis y (x) = log a (x) yra teigiami tikrieji skaičiai R + . Kelionių klasės ar yra realieji skaičiai R .

Nepriklausomai nuo bazės, logaritmo funkcija visada eina per tašką (1,0), o taškas (a, 1) priklauso tos funkcijos grafikui.

Tuo atveju, kai bazė a yra didesnė už vienetą (a> 1), logaritmo funkcija didėja. Bet jei (0 <a <1), tai yra mažėjanti funkcija.

Sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijos

Sinuso funkcija kiekvienam x dydžiui priskiria tikrąjį skaičių, kur x žymi kampo dydį radianais. Norint gauti kampo Sen (x) vertę, kampas vaizduojamas vieneto apskritime, o minėto kampo projekcija vertikalioje ašyje yra tą kampą atitinkanti sinusė.

Įvairių kampų reikšmių X1, X2, X3 ir X4 trigonometrinis apskritimas ir sinusas parodyti žemiau (3 paveikslas).

3 pav. Trigonometrinis apskritimas ir įvairių kampų sinusas. (Savo parengimas)

Tokiu būdu apibrėžta didžiausia funkcijos Sen (x) reikšmė gali būti 1, kuri atsiranda, kai x = π / 2 + 2π n, kur n yra sveikasis skaičius (0, ± 1, ± 2,). Mažiausia reikšmė, kurią gali paimti funkcija Sen (x), atsiranda tada, kai x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinuso funkcija y = Cos (x) yra apibrėžta panašiai, tačiau kampinių padėčių P1, P2 ir kt. Projekcija vykdoma horizontalioje trigonometrinio apskritimo ašyje.

Kita vertus, funkcija y = Tan (x) yra sinuso ir kosinuso funkcijos santykis.

Žemiau pateiktas transcendentinių funkcijų Sen (x), Cos (x) ir Tan (x) grafikas

4 pav. Transcendentinių funkcijų grafikas, sinusas, kosinusas ir tangentas. (Savo parengimas)

Dariniai ir integralai

Eksponentinės funkcijos darinys

Eksponentinės funkcijos y = a ^ x išvestinė y 'yra funkcija a ^ x, padauginta iš natūralaus bazės a logaritmo:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Konkrečiu bazės e atveju eksponentinės funkcijos išvestinė yra pati eksponentinė funkcija.

Eksponentinės funkcijos integralas

Neapibrėžtas ^ x integralas yra pati funkcija, padalyta iš natūralaus pagrindo logaritmo.

Konkrečiu bazės e atveju eksponentinės funkcijos integralas yra pati eksponentinė funkcija.

Transcendentinių funkcijų darinių ir integralų lentelė

Žemiau yra pagrindinių transcendentinių funkcijų, jų darinių ir neapibrėžtųjų integralų (antiderivatų) suvestinė lentelė:

Kai kurių transcendentinių funkcijų darinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė. (Savo parengimas)

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite funkciją, gautą iš funkcijos f (x) = x ^ 3 sudėties, kai funkcija g (x) = cos (x):

(rūkas) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Jo darinys ir neapibrėžtasis integralas yra:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos g sudėtį su funkcija f, kur g ir f yra funkcijos, apibrėžtos ankstesniame pavyzdyje:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Pažymėtina, kad funkcijų sudėtis nėra komutacinė operacija.

Šios funkcijos darinys ir neapibrėžtasis integralas yra atitinkamai:

Integralas buvo paliktas nurodytas, nes neįmanoma tiksliai surašyti rezultato kaip elementariųjų funkcijų derinio.

Nuorodos

1. Vieno kintamojo apskaičiavimas. Ronas Larsonas, Bruce'as H. Edwardsas. „Cengage“ mokymasis, lapkričio 10 d 2008 metai
2. Netiesioginė funkcijos teorema: istorija, teorija ir programos. Stevenas G. Krantzas, Haroldas R. Parksas. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, lapkričio 9 d. 2012 metai
3. Kelių kintamųjų analizė. „Satish Shirali“, „Harkrishan Lal Vasudeva“. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, gruodžio 13 d. 2010 metai
4. Sistemos dinamika: mechatroninių sistemų modeliavimas, modeliavimas ir valdymas. Dekanas C. Karnoppas, Donaldas L. Margolis, Ronaldas C. Rosenbergas. Johnas Wiley ir sūnūs, kovo 7 d 2012 metai
5. Kalkulis: matematika ir modeliavimas. Williamas Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rickas Vitray. Adisonas Wesley Longmanas, sausio 1 d 1999 metai
6. Vikipedija. Transcendentinė funkcija. Atkurta iš: es.wikipedia.com