ŠEŠIAKAMPIS: SAVYBĖS, ĮSTRIŽAINĖS, PERIMETRAS, PLOTAS - MATEMATIKA - 2025

Heptadecagon yra taisyklingo daugiakampio 17 pusėse ir 17 viršūnių. Jo konstrukcija gali būti atliekama euklidiniu stiliumi, ty naudojant tik liniuotę ir kompasą. Tai buvo puikus matematikos genijus, vos 18 metų sulaukęs Carlas Friedrichas Gaussas (1777–1855), kuris 1796 m. Nustatė jo sudarymo tvarką.

Matyt, Gaussas visada buvo labai linkęs į šią geometrinę figūrą tokiu mastu, kad nuo tos dienos, kai atrado jos konstrukciją, jis nusprendė būti matematikas. Taip pat sakoma, kad jis norėjo, kad ant jo antkapio būtų išgraviruotas heptadekagonas.

1 pav. Heptadekagonas yra taisyklingas daugiakampis, turintis 17 šonų ir 17 viršūnių. Šaltinis: F. Zapata.

Gaussas taip pat rado formulę, pagal kurią nustatomi reguliarūs daugiakampiai, turintys galimybę statyti liniuotę ir kompasą, nes kai kurie neturi tikslios Euklido konstrukcijos.

Heptadekaono charakteristikos

Kalbant apie jo, kaip ir bet kurio daugiakampio, charakteristikas, svarbu jo vidinių kampų suma. Taisyklingame daugiakampyje, kurio n kraštinės, sumą apskaičiuoja:

Ši suma, išreikšta radianais, atrodo taip:

Iš aukščiau pateiktų formulių galima lengvai padaryti išvadą, kad kiekvienas vidinis šešiakampio kampas turi tikslų matavimą α, apskaičiuotą:

Iš to išplaukia, kad vidinis kampas yra maždaug toks:

Įstrižainės ir perimetras

Įstrižainės ir perimetras yra kiti svarbūs aspektai. Bet kuriame daugiakampyje įstrižainių skaičius yra:

D = n (n - 3) / 2, o šešiakampio atveju, kai n = 17, tada turime D = 119 įstrižaines.

Kita vertus, jei žinomas kiekvienos heptadekaono pusės ilgis, taisyklingo heptadekaono perimetras nustatomas tiesiog pridedant 17 kartų didesnį ilgį arba tai, kas lygu 17 kartų didesniam nei kiekvienos kraštinės ilgis d:

P = 17 d

Heptadekaono perimetras

Kartais žinomas tik heptadekaono spindulys r, todėl būtina sukurti šio atvejo formulę.

Šiuo tikslu įvedama apatijos sąvoka. Apothemė yra segmentas, einantis nuo taisyklingo daugiakampio centro iki vienos pusės vidurio taško. Apothema vienos pusės atžvilgiu yra statmena šiai pusei (žr. 2 paveikslą).

Paveikslėlis parodytas taisyklingo daugiakampio, kurio spindulys r ir jo apotemas, dalys. (Savo parengimas)

Be to, apotemas yra kampo, kurio centrinė viršūnė ir šonai yra dvi iš eilės daugiakampio viršūnių, bisektorius, tai leidžia rasti ryšį tarp spindulio r ir šono d.

Jei centrinis kampas DOE yra β ir atsižvelgiant į tai, kad apoteminis OL yra bisektorius, turime EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), iš kurio turime ryšį ir rasime daugiakampio šono ilgį d. žinomas jo spindulys r ir centrinis kampas β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Heptadekagono β = 360º / 17 atveju mes turime:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Galiausiai gaunama heptadekaono perimetro formulė, žinoma pagal jo spindulį:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Heptadekaono perimetras yra arti jį supantį perimetrą, tačiau jo vertė yra mažesnė, tai yra, apibrėžto apskritimo perimetras yra Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Plotas

Norėdami nustatyti šešiakampio plotą, remsimės 2 paveikslu, kuriame parodyti taisyklingo daugiakampio, turinčio n kraštines, šonai ir apotema. Šiame paveikslėlyje trikampio EOD plotas lygus bazei d (daugiakampio šone), padaugintai iš aukščio a (daugiakampio apotemo), padalyto iš 2:

EOD plotas = (dxa) / 2

Taigi, žinant heptadekaono apotemą a ir jo šoną d, jo plotas yra:

Šešiakampio plotas = (17/2) (dxa)

Plotas nurodytas šone

Norint gauti formulę heptadekaono plotui žinant jo septyniolikos kraštinių ilgį, reikia gauti ryšį tarp aotemos a ilgio ir šono d.

Remiantis 2 paveikslu, gaunamas toks trigonometrinis ryšys:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kur β yra centrinis kampas DOE. Taigi apotemą a galima apskaičiuoti, jei žinomas daugiakampio kraštinės ilgis d ir centrinis kampas β:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Jei ši išraiška pakeista apotemu, tai ankstesniame skyriuje gautoje heptadekaono ploto formulėje turime:

Šešiakampio plotas = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Heptadekagonui esant β = 360º / 17, taigi pagaliau turime norimą formulę:

Šešiakampio plotas = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Plotas nurodytas spinduliu

Ankstesniuose skyriuose buvo rastas ryšys tarp taisyklingo daugiakampio šono d ir jo spindulio r, šie santykiai yra šie:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ši išraiška d įterpiama į išraišką, gautą ankstesniame šios srities skyriuje. Jei bus atlikti atitinkami pakeitimai ir supaprastinimai, gaunama formulė, leidžianti apskaičiuoti heptadekaono plotą:

Šešiakampio plotas = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Apytikslė šios srities išraiška:

Šešiakampio plotas = 3,0706 (r ² )

Kaip ir tikėtasi, ši sritis yra šiek tiek mažesnis negu apskritimo, apibrėžiančio heptadecagon A srityje _CIRC = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Tiksliau tariant, jis yra 2% mažesnis nei jo nurodytas apskritimas.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Norint atsakyti į klausimą, reikia atsiminti santykį tarp šoninio ir įprasto n-formos daugiakampio spindulio:

d = 2 r Sen (180º / n)

Hptadekagonui n = 17, kad d = 0,3675 r, tai yra, heptadekaono spindulys būtų r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm arba

10,8844 cm skersmens.

2 cm šoninio heptadekaono perimetras yra P = 17 * 2 cm = 34 cm.

2 pavyzdys

Turime remtis ankstesniame skyriuje parodyta formule, leidžiančia rasti šešiakampio plotą, kai jo kraštinės ilgis yra d:

Šešiakampio plotas = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Ankstesnę formulę pakeitę d = 2 cm, gauname:

Plotas = 90,94 cm

Nuorodos

1. CEA (2003). Geometrijos elementai: su pratimais ir kompaso geometrija. Medellino universitetas.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atleistas, K. (2007). Atraskite daugiakampius. Lyginamoji švietimo įmonė.
4. Hendrik, V. (2013). Apibendrinti daugiakampiai. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematikos pirmasis semestras Tacaná. IGER.
6. Jr geometrija. (2014). Daugiakampiai. „Lulu Press, Inc.“
7. Milleris, Heerenas ir Hornsbis. (2006). Matematika: pagrindimas ir taikymas (dešimtasis leidimas). „Pearson Education“.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakcijos programa.
9. Sada, M. 17 pusių įprastas daugiakampis su liniuote ir kompasu. Atkurta iš: geogebra.org
10. Vikipedija. Heptadekagonas. Atkurta iš: es.wikipedia.com