IŠGAUBTAS DAUGIAKAMPIS: APIBRĖŽIMAS, ELEMENTAI, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Cilindro formą yra geometrinė figūra įdėtas į plokštumoje, kuri yra būdinga, nes ji turi visas savo įstrižainių viduje ir jos kampai matuoti mažiau nei 180 ° kampu. Tarp jo savybių yra šios:

1) Jį sudaro n iš eilės segmentai, kur paskutinis iš segmentų prisijungia prie pirmojo. 2) Nė vienas iš segmentų nesikerta taip, kad apribotų plokštumą vidinėje ir išorinėje srityse. 3) Kiekvienas interjero kampas yra griežčiau mažesnis už plokštumos kampą.

1 pav. 1, 2 ir 6 daugiakampiai yra išgaubti. (Parengė Ricardo Pérez).

Paprastas būdas nustatyti, ar daugiakampis yra išgaubtas, ar ne, yra atsižvelgti į liniją, einančią per vieną iš jo šonų, kuri lemia dvi pusapjovas. Jei kiekvienoje linijoje, einančioje per vieną pusę, kitos daugiakampio pusės yra toje pačioje pusiau plokštumoje, tada tai yra išgaubtas daugiakampis.

Daugiakampio elementai

Kiekvieną daugiakampį sudaro šie elementai:

- Šonai

- Viršūnės

Šonai yra kiekvienas iš eilės segmentų, sudarančių daugiakampį. Daugiakampyje nė vienas iš segmentų, sudarančių jį, negali turėti atviro galo, tokiu atveju būtų daugiakampė linija, bet ne daugiakampis.

Viršūnės yra dviejų iš eilės segmentų susikirtimo taškai. Daugiakampyje viršūnių skaičius visada lygus kraštų skaičiui.

Jei susikerta dvi daugiakampio pusės arba segmentai, tada turite sukryžiuotą daugiakampį. Perėjimo taškas nelaikomas viršūne. Kryžminis daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis. Žvaigždžių daugiakampiai yra kryžminiai daugiakampiai, todėl nėra išgaubti.

Kai daugiakampio kraštinės yra vienodo ilgio, tada turime įprastą daugiakampį. Visi taisyklingi daugiakampiai yra išgaubti.

Išgaubti ir ne išgaubti daugiakampiai

1 paveiksle pavaizduoti keli daugiakampiai, kai kurie iš jų yra išgaubti, o kiti - ne. Paanalizuokime juos:

Skaičius 1 yra trikampis daugiakampis (trikampis), o visi vidiniai kampai yra mažesni nei 180º, todėl tai yra išgaubtas daugiakampis. Visi trikampiai yra išgaubti daugiakampiai.

Skaičius 2 yra keturių pusių daugiakampis (keturkampis), kuriame nė viena iš šonų nesikerta, o kiekvienas vidinis kampas yra mažesnis kaip 180º. Tada tai yra išgaubtas daugiakampis su keturiomis pusėmis (išgaubtas keturkampis).

Kita vertus, skaičius 3 yra daugiakampis su keturiomis pusėmis, bet vienas jo vidinis kampas yra didesnis nei 180º, taigi jis neatitinka išgaubtumo sąlygų. Tai yra, tai nėra išgaubtas keturių pusių daugiakampis, vadinamas įgaubtu keturkampiu.

Skaičius 4 yra daugiakampis su keturiais segmentais (šonais), iš kurių du susikerta. Keturi vidiniai kampai yra mažesni nei 180º, tačiau kadangi dvi pusės kerta, tai yra ne išgaubtas, skersinis daugiakampis (kryžminamas keturkampis).

Kitas atvejis yra skaičius 5. Tai yra daugiakampis, turintis penkias puses, tačiau kadangi vienas iš jo vidinių kampų yra didesnis nei 180º, tada turime įgaubtą daugiakampį.

Galiausiai, skaičiaus 6, kuris taip pat turi penkias puses, visi vidiniai kampai yra mažesni nei 180º, taigi tai yra išgaubtas daugiakampis su penkiomis pusėmis (išgaubtas penkiakampis).

Išgaubto daugiakampio savybės

1- Neapibrėžtas daugiakampis arba paprastas daugiakampis padalija plokštumą, kurioje yra, į dvi sritis. Vidinis ir išorinis regionas, daugiakampis yra riba tarp dviejų regionų.

Bet jei daugiakampis yra papildomai išgaubtas, tada turime vidinį regioną, kuris yra tiesiog sujungtas, o tai reiškia, kad paėmus bet kuriuos du taškus iš interjero srities, jį visada gali sujungti segmentas, kuris visiškai priklauso vidaus regionui.

2 pav. Išgaubtas daugiakampis yra tiesiog sujungtas, o įgaubtas - ne. (Parengė Ricardo Pérez).

2- Kiekvienas vidinis išgaubto daugiakampio kampas yra mažesnis už plokštumos kampą (180º).

3 - Visi vidiniai išgaubto daugiakampio taškai visada priklauso vienai iš pusiau plokštumų, apibrėžtų linijos, einančios per dvi iš eilės einančias viršūnes.

4- Išgaubtame daugiakampyje visos įstrižainės yra visiškai vidiniame daugiakampyje.

5- Išgaubto daugiakampio vidiniai taškai visiškai priklauso išgaubtam kampiniam sektoriui, kurį apibūdina kiekvienas vidinis kampas.

6- Kiekvienas daugiakampis, kurio visos viršūnės yra perimetre, yra išgaubtas daugiakampis, vadinamas cikliniu daugiakampiu.

7- Kiekvienas ciklinis daugiakampis yra išgaubtas, bet ne kiekvienas išgaubtas daugiakampis yra cikliškas.

8- Bet koks nesukryžiuotas daugiakampis (paprastas daugiakampis), kurio visos kraštinės yra vienodo ilgio, yra išgaubtas ir žinomas kaip įprastas daugiakampis.

Įstrižainės ir kampai išgaubtuose daugiakampiuose

9 - Bendras išgaubto daugiakampio, turinčio n kraštines, įstrižainių skaičius N apskaičiuojamas pagal šią formulę:

N = ½ n (n - 3)

Įrodymas: Išgaubtame daugiakampyje, kuriame kiekvienos viršūnės kraštinės yra n, nubrėžtos 3 įstrižainės, nes pati viršūnė ir dvi gretimos yra neįtrauktos. Kadangi yra n viršūnių, iš viso nubrėžta n (n - 2) įstrižainės, tačiau kiekviena įstrižainė buvo nupiešta du kartus, taigi įstrižainių skaičius (be pasikartojimo) yra n (n-2) / 2.

10 - Išgaubto daugiakampio, turinčio n puses, vidinių kampų suma S yra apskaičiuojama pagal šį santykį:

S = (n - 2) 180º

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Ciklinis šešiakampis yra daugiakampis, turintis šešias puses ir šešias viršūnes, tačiau visos viršūnės yra to paties apskritimo. Kiekvienas ciklinis daugiakampis yra išgaubtas.

Ciklinis šešiakampis.

2 pavyzdys

Nustatykite taisyklingo eneono vidinių kampų vertę.

Sprendimas: enegonas yra 9 pusių daugiakampis, tačiau jei jis taip pat yra taisyklingas, visos jo pusės ir kampai yra lygūs.

Visų 9 pusių daugiakampio vidinių kampų suma yra:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Bet yra 9 vidiniai kampai, kurių dydis lygus α, taigi turi būti įvykdyta ši lygybė:

S = 9 α = 1260º

Iš to darytina išvada, kad kiekvieno taisyklingo eneono vidinio kampo α matas yra:

α = 1260º / 9 = 140º