KAS YRA KOPLANARINIAI VEKTORIAI? (SU IŠSPRĘSTAIS PRATIMAIS) - FIZINIS - 2025

Kad toje pačioje plokštumoje esančių vektoriai arba vienoje plokštumoje, yra tie, kurie yra išdėstytos toje pačioje plokštumoje. Kai yra tik du vektoriai, jie visada yra koplanariniai, nes yra begalinės plokštumos, visada galima pasirinkti tą, kuriame yra jų.

Jei turite tris ar daugiau vektorių, gali būti, kad kai kurie iš jų nėra toje pačioje plokštumoje kaip kiti, todėl jų negalima laikyti koplanariais. Šis paveikslėlis parodo koplanarinių vektorių, pažymėtų paryškintais A , B , C ir D, rinkinį :

1 pav. Keturi koplanariniai vektoriai. Šaltinis: pačių sukurtas.

Vektoriai yra susiję su fizikinių dydžių elgsena ir savybėmis, susijusiomis su mokslu ir inžinerija; pavyzdžiui, greitis, pagreitis ir jėga.

Jėga daro skirtingą poveikį objektui, kai keičiamas jo taikymo būdas, pavyzdžiui, keičiant stiprumą, kryptį ir kryptį. Net pakeitus tik vieną iš šių parametrų, rezultatai labai skiriasi.

Daugeliu atvejų, tiek statikoje, tiek dinamikoje, jėgos, veikiančios kūną, yra toje pačioje plokštumoje, todėl jos laikomos koplaninėmis.

Sąlygos, pagal kurias vektoriai turi būti daugialypiai

Norėdami, kad trys vektoriai būtų daugialypiai, jie turi gulėti toje pačioje plokštumoje, ir tai atsitinka, jei jie atitinka bet kurią iš šių sąlygų:

-Vektoriai yra lygiagretūs, todėl jų komponentai yra proporcingi ir linijiškai priklausomi.

-Jūsų mišrus produktas negalioja.

-Jei turite tris vektorius ir bet kurį iš jų galima užrašyti kaip linijinį kitų dviejų derinį, šie vektoriai yra daugialypiai. Pavyzdžiui, vektorius, atsirandantis dėl dviejų kitų sumos, visi trys yra toje pačioje plokštumoje.

Kaip alternatyvą, panašumo sąlygą galima nustatyti taip:

Mišrus produktas tarp trijų vektorių

Mišrus produktas tarp vektorių apibūdinamas trimis vektoriais u , v ir w, gaunant skaliarą, kuris atsiranda atlikus šią operaciją:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Pirmiausia atliekamas skliausteliuose esantis kryžminis produktas: v x w , kurio rezultatas yra normalus vektorius (statmenas) plokštumai, kurioje yra ir v, ir w .

Jei u yra toje pačioje plokštumoje, kurioje yra v ir w , natūraliai skaliarinis sandauga (taškinis sandauga) tarp u ir minėto įprasto vektoriaus turi būti 0. Tokiu būdu patikrinama, ar trys vektoriai yra koplanariniai (jie guli toje pačioje plokštumoje).

Kai sumaišytas produktas nėra lygus nuliui, jo rezultatas lygus lygiagretainio, kurio vektoriai u , v ir w yra gretimose pusėse , tūriui .

Programos

Koplanarinės, lygiagrečios ir ne tiesinės jėgos

Visos vienalaikės jėgos veikia tame pačiame taške. Jei jie taip pat yra daugialypiai, juos galima pakeisti viena, kuri vadinama išvestine jėga ir turi tokį patį poveikį kaip ir pradinės jėgos.

Jei kūnas yra pusiausvyroje dėl trijų koplanarinių, lygiagrečių ir ne kolinearinių (ne lygiagrečių) jėgų, vadinamų A , B ir C, Lamy teorema rodo, kad šių jėgų (didumų) santykis yra toks:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Kai α, β ir γ yra priešingi nukreiptų jėgų kampai, kaip parodyta šiame paveiksle:

2 paveikslas. Trys kopinės plokštumos jėgos A, B ir C veikia objektą. Šaltinis: „Kiwakwok“ angliškoje Vikipedijoje

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Raskite k vertę taip, kad šie vektoriai būtų daugialypiai:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Sprendimas

Kadangi turime vektorių komponentus, naudojamas mišraus produkto kriterijus, todėl:

u ( v x w ) = 0

Pirmiausia išspręskite v x w. Vektoriai bus išreikšti vienetų vektoriais i , j ir k, kurie išskiria tris statmenas erdvės kryptis (plotį, aukštį ir gylį):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Dabar mes apsvarstome skaliarinį sandaugą tarp u ir vektoriaus, kuris atsirado po ankstesnės operacijos, nustatant operaciją lygią 0:

u · ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Ieškoma vertė yra: k = - 6

Taigi vektorius u yra:

u = <-3, -6, 2>

- 2 pratimas

Paveikslėlyje pavaizduotas objektas, kurio svoris W = 600 N, kabantis pusiausvyroje dėl kabelių, išdėstytų 3 paveiksle pavaizduotais kampais. Ar šioje situacijoje įmanoma pritaikyti Lamy'io teoremą? Bet kokiu atveju suraskite T ₁ , T ₂ ir T ₃ dydžius , kurie įgalina pusiausvyrą.

3 pav. Svoris kabo pusiausvyroje, veikiant trims parodytiems įtempiams. Šaltinis: pačių sukurtas.

Sprendimas

Lamy teorema yra taikoma šioje situacijoje, jei nagrinėjamas mazgas, kuriam taikomi trys įtempiai, nes jie sudaro koplanarinių jėgų sistemą. Pirmiausia, norint nustatyti T ₃ dydį, sudaroma pakabinamo svorio laisvojo kūno schema _:

4 pav. Laisvojo kūno schema, skirta pakabinti svorį. Šaltinis: pačių sukurtas.

Iš pusiausvyros sąlygos išplaukia, kad:

Toliau pateiktame paveikslėlyje kampai tarp jėgų pažymėti raudonai. Nesunkiai galima įsitikinti, kad jų suma yra 360º. Dabar galima pritaikyti Lamy teoremą, nes žinoma viena iš jėgų ir trys kampai tarp jų:

5 paveikslas. Raudoni kampai, kad būtų galima pritaikyti Lamy'io teoremą. Šaltinis: pačių sukurtas.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Todėl: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Vėlgi Lamy teorema taikoma norint išspręsti T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Nuorodos

1. Figueroa, D. Serija: Fizika mokslams ir inžinerijai. 1 tomas. Kinematika. 31–68.
2. Fizinis. 8 modulis: Vektoriai. Atgauta iš: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika inžinieriams. Statinis 6-asis leidimas. Kontinentinės leidybos įmonė. 28–66.
4. McLean, W. Schaum serija. Mechanikai inžinieriams: statika ir dinamika. 3 leidimas. McGraw Hill. 1-15.
5. Vikipedija. Vektorius. Atkurta iš: es.wikipedia.org.