Sc (f, n) = * Δx

4 pav. Tarpinė Riemann suma. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. 09glasgow09

Priklausomai nuo to, kur taškas t _k yra nurodytas intervale, Riemann suma gali pervertinti arba nuvertinti tikslią plotą pagal funkcijos y = f (x) kreivę. Kitaip tariant, stačiakampiai gali išsikišti iš kreivės arba būti šiek tiek žemiau jo.

Plotas po kreive

Pagrindinė Riemann sumos savybė, iš kurios išplaukia jos svarba, yra ta, kad jei padalijimų skaičius yra linkęs į begalybę, sumos rezultatas suartėja iki apibrėžto funkcijos integralo:

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Apskaičiuokite funkcijos integralo nuo a = -2 iki b = +2 reikšmę:

f (x) = x ²

Pasinaudokite Riemann suma. Norėdami tai padaryti, pirmiausia raskite n įprastų intervalo pertvarų sumą ir tada paimkite matematinę ribą tuo atveju, jei skaidinių skaičius yra linkęs į begalybę.

Sprendimas

Tai yra šie žingsniai, kuriuos reikia atlikti:

-Pirmiausia, pertvarų intervalas yra apibrėžiamas taip:

Δx = (b - a) / n.

-Tada „Riemann“ suma dešinėje, atitinkanti funkciją f (x), atrodo taip:

- Ir tada jis atsargiai pakeičiamas apibendrinimu:

Kitas žingsnis yra atskirti sumas ir paimti pastovius kiekius kaip bendrą kiekvienos sumos koeficientą. Būtina atsižvelgti į tai, kad indeksas yra i, todėl skaičiai ir terminai su n laikomi pastoviais:

- Kiekviena suma yra įvertinta, nes kiekvienai iš jų yra tinkamos išraiškos. Pavyzdžiui, pirmoji iš sumų n:

- Pagaliau apskaičiuojamas integralas yra:

Skaitytojas gali patikrinti, ar tai tikslus rezultatas, kurį galima gauti išsprendus neterminuotą integralą ir įvertinant integracijos ribas Barrowo taisykle.

- 2 pratimas

Apytiksliai nustatykite plotą pagal funkciją:

f (x) = (1 / √ (2π)) E ^{(-X 2 /2)}

Įveskite x = -1 ir x = + 1, naudodamiesi centrine Riemann suma su 10 skaidinių. Palyginkite su tiksliu rezultatu ir įvertinkite procentinį skirtumą.

Sprendimas

Žingsnis arba prieaugis tarp dviejų vienas po kito einančių atskirų verčių yra:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Taigi skaidinys P, kuriame apibrėžti stačiakampiai, atrodo taip:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}

Kadangi reikalinga centrinė suma, funkcija f (x) bus įvertinta tarpinių intervalų vidurio taškuose, tai yra rinkinyje:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.

(Centrinė) Riemann suma atrodo taip:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Kadangi funkcija f yra simetriška, sumą įmanoma sumažinti tik iki 5 terminų, o rezultatas padauginamas iš dviejų:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,312 + 0,266} = 0,683

Šiame pavyzdyje pateikta funkcija yra ne kas kita, kaip gerai žinomas Gauso varpas (normalizuotas, o vidurkis lygus nuliui ir standartinis nuokrypis vienas). Žinomas, kad šios funkcijos intervalas po kreive yra 0,6827.

5 pav. Plotas po Gauso varpu, apytiksliai apskaičiuotu pagal Riemann sumą. Šaltinis: F. Zapata.

Tai reiškia, kad apytikslis sprendimas, turintis tik 10 terminų, atitinka tikslų sprendimą iki trijų skaičių po kablelio. Procentinė paklaida tarp apytikslio ir tikslaus integralo yra 0,07%.

Nuorodos

1. Casteleiro, JM, ir Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralinis skaičiavimas (iliustruotas leidimas). Madridas: ESIC redakcija.
2. Unikano. Integralo sampratos istorija. Atkurta iš: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann sumos. Atkurta iš: matematicas.uis.edu.co
4. Vikipedija. Riemann suma. Atkurta iš: es.wikipedia.com
5. Vikipedija. Riemann integracija. Atkurta iš: es.wikipedia.com