KOMPLEKTO TEORIJA: CHARAKTERISTIKOS, ELEMENTAI, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Rinkinys teorija yra matematinės logikos-kuris yra atsakingas už santykių tarp subjektų, vadinamų rinkiniai tyrimo filialas. Rinkiniai apibūdinami kaip to paties pobūdžio objektų kolekcijos. Minėti objektai yra rinkinio elementai ir gali būti: skaičiai, raidės, geometrinės figūros, daiktus vaizduojantys žodžiai, patys objektai ir kiti.

XIX amžiaus pabaigoje Georgas Cantorius pasiūlė rinkinio teoriją. Nors kiti žymūs XX amžiaus matematikai įteisino: Gottlobas Frege'as, Ernstas Zermelo, Bertrand'as Russell'as, Adolfas Fraenkel'as.

1 pav. A, B grupių ir jų sankirtos A⋂ B. venų diagrama.

Venno diagramos yra grafinis rinkinio vaizdavimo būdas, kurį sudaro uždaroji plokštumos figūra, kurioje yra rinkinio elementai.

Pavyzdžiui, 1 paveiksle parodyti du rinkiniai A ir B, kurie turi bendrus elementus, bendrus elementus A ir B. Tai sudaro naują aibę, vadinamą A ir B sankirtos aibėmis, kuri yra parašyta forma simbolinis taip:

A ∩ B

charakteristikos

Rinkinys yra primityvi sąvoka, nes ji geometrijoje yra taško, linijos ar plokštumos sąvoka. Nėra geresnio būdo išreikšti sąvoką, nei nurodant pavyzdžius:

E rinkinys, suformuotas pagal Ispanijos vėliavos spalvas. Šis rinkinio išreiškimo būdas vadinamas supratimu. Tas pats E rinkinys, parašytas plėtiniu:

E = {raudona, geltona}

Šiuo atveju raudona ir geltona yra E rinkinio elementai. Reikėtų pažymėti, kad elementai yra išvardyti petnešomis ir nėra pakartoti. Ispanijos vėliavos atveju yra trys spalvotos juostelės (raudonos, geltonos, raudonos), iš kurių dvi kartojasi, bet elementai nekartojami, kai išreiškiama visa.

Tarkime, kad rinkinys V, kurį sudaro pirmosios trys balsių raidės:

V = {a, e, i}

V galios aibė, žymima P (V), yra visų aibių, kurias galima sudaryti su V elementais, aibė:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Rinkinių tipai

Ribinis rinkinys

Tai yra rinkinys, kuriame jo elementai yra suskaičiuojami. Baigtinių rinkinių pavyzdžiai yra ispanų abėcėlės raidės, ispanų balsės balsai, Saulės sistemos planetos, be kita ko. Elementų skaičius baigtiniame rinkinyje vadinamas jo kardinalumu.

Begalinis rinkinys

Begalinis rinkinys suprantamas kaip viskas, kuo nesuskaičiuojamas jo elementų skaičius, nes kad ir koks didelis būtų jo elementų skaičius, visada galima rasti daugiau elementų.

Begalinės aibės pavyzdys yra natūraliųjų skaičių aibė N, kuri plačiąja forma išreiškiama taip:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Aiškiai yra begalinis rinkinys, nes nesvarbu, koks gali būti natūralus skaičius, begalinio proceso metu visada galima rasti kitą didžiausią. Akivaizdu, kad begalinio rinkinio kardinalumas yra ∞.

Tuščias rinkinys

Tai yra rinkinys, kuriame nėra jokio elemento. Tuščias rinkinys V žymimas Ø arba klavišų pora be elementų viduje:

V = {} = Ø.

Tuščias rinkinys yra unikalus, todėl sakyti „tuščias rinkinys“ turi būti neteisingas, teisinga forma - sakyti „tuščias rinkinys“.

Tarp tuščio rinkinio savybių turime, kad tai yra bet kurio rinkinio pogrupis:

Ø ⊂ A

Be to, jei rinkinys yra tuščio rinkinio pogrupis, tada būtinai tas rinkinys bus vakuumas:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitarinis rinkinys

Vienetų rinkinys yra bet kuris rinkinys, kuriame yra vienas elementas. Pavyzdžiui, natūralių Žemės palydovų rinkinys yra vientisas rinkinys, kurio vienintelis elementas yra Mėnulis. B sveikųjų skaičių, mažesnių nei 2 ir didesnių už nulį, aibėje yra tik 1 elementas, todėl tai yra vienetų aibė.

Dvejetainis rinkinys

Rinkinys yra dvejetainis, jei jis turi tik du elementus. Pavyzdžiui, aibė X, tokia, kad x yra x ^ 2 = 2 realaus skaičiaus sprendimas. Šis rinkinys išplečiamas taip:

X = {-√2, + √2}

Universalus komplektas

Universalus rinkinys yra rinkinys, kurį sudaro kiti to paties tipo ar pobūdžio rinkiniai. Pavyzdžiui, universalusis natūraliųjų skaičių rinkinys yra realiųjų skaičių rinkinys. Bet tikrieji skaičiai yra universalioji sveikųjų ir racionaliųjų skaičių aibė.

Pagrindiniai elementai

- Ryšiai tarp rinkinių

Asamblėjose tarp jų ir jų elementų galima užmegzti įvairius ryšius. Jei du rinkiniai A ir B turi lygiai tuos pačius elementus, sukuriamas lygybės santykis, žymimas taip:

A = B

Jei visi rinkinio A elementai priklauso aibei B, bet ne visi B elementai priklauso A, tada tarp šių aibių yra įtraukimo santykis, kuris žymimas taip:

A ⊂ B, bet B ⊄ A

Aukščiau pateikta išraiška: A yra B pogrupis, bet B nėra A pogrupis.

Nurodant, kad kai kurie elementai ar elementai priklauso rinkiniui, naudojamas narystės simbolis ∈, pavyzdžiui, norint pasakyti, kad x elementas ar elementai priklauso rinkiniui A, parašyti simboliškai taip:

x ∈ A

Jei elementas nepriklauso rinkiniui A, šis ryšys užrašomas taip:

ir ∉ A

Narystės ryšys egzistuoja tarp rinkinio ir rinkinio elementų, išskyrus galios rinkinį, kurio galios rinkinys yra visų galimų rinkinių, kuriuos galima sudaryti su minėtojo rinkinio elementais, rinkinys arba rinkinys.

Tarkime, V = {a, e, i}, jo galios rinkinys yra P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, tokiu atveju aibė V tampa aibės P (V) elementu ir gali būti parašyta:

V ∈ P (V)

- Įtraukimo savybės

Pirmoji įtraukimo savybė nustato, kad kiekvienas rinkinys yra savyje, arba, kitaip tariant, kad jis yra pats poaibis:

A ⊂ A

Kita įtraukimo savybė yra tranzityvumas: jei A yra B pogrupis, o B savo ruožtu yra C pogrupis, tada A yra C pogrupis. Simboline forma, pereinamumo santykis užrašomas taip:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Žemiau yra Venno diagrama, atitinkanti įtraukimo pereinamumą:

2 pav. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operacijos tarp rinkinių

Sankryža

Susikirtimas yra operacija tarp dviejų rinkinių, dėl kurios atsiranda naujas rinkinys, priklausantis tam pačiam universaliajam rinkiniui, kaip ir pirmieji du. Ta prasme tai yra uždara operacija.

Simboliškai sankryžos operacija suformuluota taip:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Pavyzdys yra toks: žodžio „elementai“ raidžių rinkinys A ir žodžio „pakartotas“ raidžių rinkinys B, sankirtos tarp A ir B parašytos taip:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Universalus A, B ir A⋂B rinkinys yra ispanų abėcėlės raidžių rinkinys.

Sąjunga

Dviejų aibių sąjunga yra aibė, kurią sudaro elementai, būdingi abiem aibėms, ir ne bendrieji elementai, esantys dviejuose rinkiniuose. Unijos operacija tarp aibių simboliškai apibūdinama taip:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Skirtumas

A rinkinio, atėmus aibės B, skirtingas veikimas žymimas AB. AB yra naujas rinkinys, kurį sudaro visi elementai, esantys A raidėje ir nepriklausantys B. Simboliškai jis parašytas taip:

A – B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

3 pav. A – B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Simetrinis skirtumas

Simetrinis skirtumas yra operacija tarp dviejų rinkinių, kai gaunamas rinkinys yra sudarytas iš elementų, nebūdingų dviem rinkiniams. Simetrinis skirtumas simboliškai pavaizduotas taip:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Venno diagrama yra grafinis rinkinių vaizdavimo būdas. Pavyzdžiui, žodžių rinkinyje esančių raidžių aibė C vaizduojama taip:

2 pavyzdys

Žemiau Venno diagramomis parodyta, kad žodyje „rinkinys“ esančių balsių rinkinys yra žodžio „rinkinys“ raidžių rinkinys.

3 pavyzdys

Ispanų abėcėlės raidžių rinkinys Ñ yra baigtinis rinkinys, šis rinkinys išplečiamas taip:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z}, o jo kardinalumas yra 27.

4 pavyzdys

Komplektą V iš ispanų balsių yra nustatytos Ñ pogrupis:

Taigi V ⊂ Ñ yra baigtinis rinkinys.

Išsamios formos baigtinis rinkinys V yra parašytas taip: V = {a, e, i, o, u}, o jo kardinalumas yra 5.

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į rinkinius A = {2, 4, 6, 8} ir B = {1, 2, 4, 7, 9}, nustatykite AB ir BA.

A - B yra elementai A, kurių nėra B:

A – B = {6, 8}

B - A yra B elementai, kurių nėra A:

B - A = {1, 7, 9}

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Parašykite simboline forma ir kartu su pigiuoju natūraliųjų skaičių, mažesnių nei 10, rinkiniu P.

Sprendimas: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

2 pratimas

Tarkime, kad aibė A, kurią sudaro natūralieji skaičiai, kurie yra 210 koeficientai, ir aibė B, kurią sudaro pirminiai natūralieji skaičiai yra mažesni nei 9. Išplėskite abu rinkinius ir nustatykite ryšį tarp dviejų aibių.

Sprendimas: Norėdami nustatyti A rinkinio elementus, pirmiausia turime sužinoti natūraliojo skaičiaus 210 faktorius:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Tada rašomas rinkinys A:

A = {2, 3, 5, 7}

Dabar mes manome, kad rinkinys B, kuris yra pirmykščių, mažesnių už 9. 1 nėra pagrindinis, nes neatitinka pirminio apibrėžimo: "skaičius yra pirminis tada ir tik tada, kai turi tiksliai du daliklius, 1 ir patį skaičių". 2 yra lygus ir tuo pačiu metu jis yra pagrindinis, nes atitinka pradmens apibrėžimą, kiti pirmieji mažiau nei 9 yra 3, 5 ir 7. Taigi aibė B yra:

B = {2, 3, 5, 7}

Todėl abu rinkiniai yra lygūs: A = B.

3 pratimas

Nustatykite aibę, kurios elementai x skiriasi nuo x.

Sprendimas: C = {x / x ≠ x}

Kadangi kiekvienas elementas, skaičius ar objektas yra lygus pats sau, rinkinys C negali būti kitoks nei tuščias rinkinys:

C = Ø

4 pratimas

Tegul N natūraliųjų skaičių aibė ir Z yra sveikųjų skaičių aibė. Nustatykite N ⋂ Z ir N ∪ Z.

Sprendimas:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, nes N ⊂ Z.

Nuorodos

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratinės lygtys: Kaip išspręsti kvadratinę lygtį. Marilù Garo.
2. Haeussleris, EF ir Paul, RS (2003). Vadybos ir ekonomikos matematika. „Pearson Education“.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 rugsėjis. Slenkstis.
4. Preciado, CT (2005). 3-asis matematikos kursas. „Progreso“ redakcija.
5. Matematika 10 (2018 m.). „Ribinių rinkinių pavyzdžiai“. Atkurta iš: matematicas10.net
6. Vikipedija. Rinkinio teorija. Atkurta iš: es.wikipedia.com