ŪMUS TRIKAMPIS: CHARAKTERISTIKOS IR TIPAI - MATEMATIKA - 2025

Kad ūmus trikampiai yra tie, kurių trys vidaus kampai yra ūmus kampai; tai yra, kiekvieno iš šių kampų matas yra mažesnis kaip 90 ° laipsnių. Neturėdami jokio stataus kampo, turime suprasti, kad Pitagoro teorema nelaiko šios geometrinės figūros.

Todėl, jei norime turėti tam tikros rūšies informacijos apie bet kurią jos pusę arba kampą, būtina naudoti kitas teoremas, kurios leidžia mums pasiekti minėtus duomenis. Galime naudoti sinuso ir kosinuso teoremą.

charakteristikos

Tarp savybių, kurias turi ši geometrinė figūra, galime išskirti tas, kurias suteikia paprastas faktas būti trikampiu. Tarp jų mes turime:

- trikampis yra daugiakampis, turintis tris puses ir tris kampus.

- Jo trijų vidinių kampų suma lygi 180 °.

- Dviejų jo pusių suma visada yra didesnė už trečiąją.

Kaip pavyzdį pažvelkime į šį trikampį ABC. Paprastai jos šonus mes identifikuojame mažosiomis raidėmis, o kampus - didžiosiomis raidėmis tokiu būdu, kad viena pusė ir jos priešingas kampas būtų ta pati raidė.

Iš jau pateiktų savybių mes žinome, kad:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b ir b + c> a

Pagrindinis bruožas, išskiriantis šį trikampio tipą iš kitų, yra tas, kad, kaip jau minėjome, jo vidiniai kampai yra aštrūs; tai yra, kiekvieno jo kampo matas yra mažesnis kaip 90 °.

Ūmūs trikampiai kartu su neryškiais trikampiais (tais, kurių vienas iš jų kampų turi būti didesnis nei 90 °) yra įstrižų trikampių aibės dalis. Šis rinkinys sudarytas iš trikampių, kurie nėra stačiakampiai.

Kadangi įstrižai trikampiai yra dalis, mes turime sugebėti išspręsti problemas, susijusias su aštriaisiais trikampiais, turime naudoti sinuso ir kosinuso teoremą.

Sinuso teorema

Sinuso teorema mums sako, kad vienos pusės ir jos priešingo kampo sinuso santykis yra lygus dvigubam apskritimo, kurį sudaro trys minėto trikampio viršūnės, spinduliui. Tai yra:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinuso teorema

Kita vertus, kosinuso teorema suteikia mums bet kurias trikampio ABC šias tris lygtis:

a ² = b ² + c ² -2 bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Šios teoremos taip pat žinomos kaip sinuso dėsnis ir kosinuso dėsnis.

Kitas bruožas, kurį galime duoti iš aštrių trikampių, yra tas, kad du iš jų yra lygūs, jei jie atitinka bet kurį iš šių kriterijų:

- Jei jie turi tas pačias tris puses.

- Jei jie turi vieną pusę ir du vienodus kampus vienas kitam.

- Jei jie turi dvi lygias puses ir kampą.

Tipai

Ūmius trikampius galima klasifikuoti pagal jų puses. Tai gali būti:

Lygiakraščiai ūmūs trikampiai

Tai yra ūmieji trikampiai, kurių visos kraštinės yra lygios, todėl visi jų vidiniai kampai turi vienodą reikšmę, kuri yra A = B = C = 60 ° laipsnių.

Kaip pavyzdį paimkime šį trikampį, kurio kraštinių a, b ir c reikšmė yra 4.

Lygiašakniai ūmūs trikampiai

Šie trikampiai, be to, kad turi aštrius vidinius kampus, pasižymi tuo, kad turi dvi iš jų vienodas puses, o trečiasis, kuris paprastai laikomas pagrindu, yra skirtingas.

Tokio tipo trikampių pavyzdžiu gali būti tas, kurio pagrindas yra 3, o kitų dviejų jo kraštinių vertė yra 5. Atliekant šiuos matavimus, jis turėtų priešingus kampus vienodoms pusėms, kurių vertė yra 72,55 °, ir priešingą kampą. bazė būtų 34,9 °.

Skalėniniai ūmūs trikampiai

Tai yra trikampiai, kurie visi turi skirtingas puses po dvi. Todėl visi jo kampai, be to, kad yra mažesni nei 90 °, skiriasi nuo dviejų iki dviejų.

Trikampis DEF (kurio matmenys yra d = 4, e = 5 ir f = 6, o jo kampai yra D = 41,41 °, E = 55,79 ° ir F = 82,8 °) yra geras ūmaus trikampio pavyzdys. Skalė.

Ūminių trikampių skiriamoji geba

Kaip jau minėjome anksčiau, norint išspręsti problemas, susijusias su ūminiais trikampiais, reikia naudoti sinuso ir kosinuso teoremas.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į trikampį ABC, kurio kampai A = 30 °, B = 70 °, o kraštinė a = 5cm, mes norime žinoti kampo C ir kraštinių b ir c vertę.

Pirmas dalykas, kurį mes darome, yra tai, kad norint apskaičiuoti kampo C vertę, trikampio vidinių kampų suma yra 180 °.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Mes išvalome C ir turime:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Kadangi mes jau žinome tris kampus ir vieną pusę, likusių kraštinių vertei nustatyti galime naudoti sinuso teoremą. Pagal teoremą turime:

a / sin (A) = b / sin (B) ir a / sin (A) = c / (sin (C)

Mes išskiriame b iš lygties ir paliekame:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Dabar mums reikia tik apskaičiuoti c reikšmę. Mes einame tuo pačiu būdu, kaip ir ankstesniu atveju:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Taigi gauname visus trikampio duomenis. Kaip matome, šis trikampis patenka į skalės aštriojo trikampio kategoriją.

2 pavyzdys

Atsižvelgiant į trikampį DEF, kurio kraštinės yra d = 4cm, e = 5cm ir f = 6cm, mes norime žinoti minėto trikampio kampų vertę.

Šiuo atveju naudosime kosinuso dėsnį, kuris mums sako:

d ² = e ² + f ² - ² efcos (D)

Iš šios lygties galime išspręsti cos (D), kuri mums suteikia:

COS (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Taigi turime D have 41,41 °

Naudodamiesi senomo teorema, turime šią lygtį:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Spręsdami dėl nuodėmės (E), mes turime:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Taigi turime E have55,79 °

Galiausiai, apskaičiavę trikampio vidinių kampų sumą 180 °, turime F≈82.8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija (Reprint ed.). Progresas.
2. Leake, D. (2006). Trikampiai (iliustruotas red.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juanas Manuelis (2003). Plokštumos metrinė geometrija
4. Ruiz, Á., Ir Barrantesas, H. (2006). Geometrijos. CR technologija.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija ir analitinė geometrija. „Pearson Education“.