KRYŽMINIS PRODUKTAS: SAVYBĖS, PRITAIKYMAS IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024

Abipusiai produktų arba vektoriaus produktas yra dauginant du ar daugiau vektorius būdas. Yra trys vektorių dauginimo būdai, tačiau nė vienas iš jų nėra daugyba įprasta žodžio prasme. Viena iš šių formų yra žinoma kaip vektorinis produktas, dėl kurio gaunamas trečiasis vektorius.

Kryžminis produktas, kuris dar vadinamas kryžminiu arba išoriniu produktu, pasižymi skirtingomis algebrinėmis ir geometrinėmis savybėmis. Šios savybės yra labai naudingos, ypač kalbant apie fizikos studijas.

Apibrėžimas

Formalus vektorinio produkto apibrėžimas yra toks: jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3) yra vektoriai, tada A ir B vektorinis produktas, kurį mes žymėsime kaip AxB, yra:

„AxB =“ (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Dėl „AxB“ žymėjimo jis skaitomas kaip „A kryžius B“.

Išorinio produkto naudojimo pavyzdys yra tai, kad jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4) yra vektoriai, tada, naudodami vektoriaus produkto apibrėžimą, turime:

„AxB“ = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

„AxB“ = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Kitas vektoriaus produkto išreiškimo būdas pateikiamas nustatant veiksnius.

Antros eilės veiksnys apskaičiuojamas taip:

Todėl apibrėžime pateiktą kryžminio produkto formulę galima perrašyti taip:

Paprastai tai supaprastinama į trečiosios eilės veiksnį taip:

Kur i, j, k atstovauja vektorius, kad forma R pagrindą ³ .

Naudodamiesi tokiu kryžminio produkto išreiškimo būdu, ankstesnį pavyzdį galime perrašyti taip:

Savybės

Kai kurios vektoriaus produkto savybės yra šios:

1 turtas

Jei A yra bet kuris vektorius R ³ , mes turime:

- AxA = 0

- Ašis0 = 0

- 0xA = 0

Šias savybes lengva patikrinti naudojant tik apibrėžimą. Jei A = (a1, a2, a3), turime:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jei i, j, k reiškia R ³ vienetinę bazę , galime jas užrašyti taip:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Taigi, mes turime šias savybes:

Paprastai šioms savybėms atsiminti dažnai naudojamas šis ratas:

Turime atkreipti dėmesį, kad bet kuris vektorius su savimi sukuria vektorių 0, o likusius produktus galima gauti laikantis šios taisyklės:

Dviejų iš eilės vektorių kryžminis produktas pagal laikrodžio rodyklę suteikia sekantį vektorių; ir kai atsižvelgiama į kryptį prieš laikrodžio rodyklę, rezultatas yra toks vektorius su neigiamu ženklu.

Dėl šių savybių galime pastebėti, kad vektoriaus produktas nėra komutacinis; pavyzdžiui, tiesiog atkreipkite dėmesį, kad ixj ≠ jx i. Ši savybė mums parodo, kaip apskritai yra susijusios AxB ir BxA.

2 turtas

Jeigu A ir B yra vektoriai R ³ , turime:

AxB = - (BxA).

Demonstracija

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), pagal išorinio produkto apibrėžimą mes turime:

„AxB =“ (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Taip pat matome, kad šis produktas nėra susijęs su šiuo pavyzdžiu:

ix (ixj) = ixk = - j, bet (ixi) xj = 0xj = 0

Iš to matome, kad:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

3 turtas

Jeigu A, B, C, yra vektoriai R ³ ir r yra realus skaičius, iš šių sąlygų:

- Ašis (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dėl šių savybių galime apskaičiuoti vektorinį produktą pagal algebros įstatymus, jei bus laikomasi tvarkos. Pavyzdžiui:

Jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4), galime juos perrašyti pagal R ³ kanoninę bazę .

Taigi, A = i + 2j + 3k ir B = 3i - 2j + 4k. Tada pritaikant ankstesnes savybes:

„AxB“ = (i + 2j + 3k) x (3i – 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

4 nuosavybė (trigubo taško produktas)

Kaip minėjome pradžioje, be vektoriaus produkto, yra ir kitų vektorių dauginimo būdų. Vienas iš šių būdų yra skaliarinis produktas arba vidinis produktas, žymimas A ∙ B ir kurio apibrėžimas yra:

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), tada A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Nuosavybė, susijusi su abiem produktais, yra žinoma kaip triguba skalė.

Jeigu A, B ir C yra vektoriai R ³ , tai A ∙ BxC = AXB ∙ C

Kaip pavyzdį pažiūrėkime, kad atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši savybė patenkinama.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Iš kitos pusės:

„AxB“ = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

„AxB“ ∙ C = (10, 4, 7) - (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Kitas trigubas produktas yra Ax (BxC), kuris yra žinomas kaip trigubo vektoriaus produktas.

5 savybė (trigubas vektorinis produktas)

Jeigu A, B ir C yra vektoriai R ³ , tada:

Ašis (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Kaip pavyzdį pažiūrėkime, kad atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši savybė patenkinama.

Iš ankstesnio pavyzdžio mes žinome, kad BxC = (- 18, - 22, 17). Apskaičiuokime ašį (BxC):

Ašis (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Kita vertus, mes turime:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Taigi, mes turime:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

6 turtas

Tai yra viena iš geometrinių vektorių savybių. Jei A ir B yra du vektoriai R ^3, o ϴ yra kampas, suformuotas tarp jų, tada:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), kur - ∙ - žymi vektoriaus modulį arba dydį.

Geometrinis šios savybės aiškinimas yra toks:

Tegul A = PR ir B = PQ. Taigi vektorių A ir B suformuotas kampas yra trikampio RQP kampas P, kaip parodyta kitame paveiksle.

Todėl paralelės diagrama, kurios gretimos pusės yra PR ir PQ, yra --A ---- B - sin (ϴ), nes mes galime paimti --A-- kaip pagrindą, o jo aukštį nurodo --B - sin (ϴ).

Todėl galime daryti išvadą, kad --AxB-- yra minėtosios paralelės diagrama.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šias keturkampio P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) ir S (5,7, –3) viršūnes, parodykite, kad tas keturkampis yra paralelograma ir raskite jos plotą.

Tam pirmiausia nustatome vektorius, kurie nustato keturkampio kraštų kryptį. Tai yra:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kaip matome, A ir C turi tą patį režisūrinį vektorių, kuriam mes turime abu lygiagrečius; tas pats atsitinka su B ir D. Todėl darome išvadą, kad PQRS yra lygiagretė.

Norėdami gauti šios paralelės diagramos plotą, apskaičiuojame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Todėl kvadratas bus toks:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Galima daryti išvadą, kad lygiagretainio plotas bus 89 kvadratinė šaknis.

7 turtas

Du vektoriai A ir B yra lygiagrečiai R ^3, jei ir tik tada, kai AxB = 0

Demonstracija

Aišku, kad jei A arba B yra nulinis vektorius, yra akivaizdu, kad AxB = 0. Kadangi nulio vektorius yra lygiagretus bet kuriam kitam vektoriui, tada savybė yra galiojanti.

Jei nė vienas iš dviejų vektorių nėra nulis vektoriaus, mes turime, kad jų dydžiai skiriasi nuo nulio; tai yra, ir --A-- ≠ 0, ir --B-- ≠ 0, taigi turėsime --AxB-- = 0 tada ir tik tada, kai sin (ϴ) = 0, ir tai atsitiks tada ir tik tada, jei ϴ = π arba ϴ = 0.

Todėl mes galime sudaryti AxB = 0 tada ir tik tada, kai ϴ = π arba ϴ = 0, o tai atsitinka tik tada, kai abu vektoriai yra lygiagrečiai vienas kitam.

8 turtas

Jeigu A ir B yra du vektoriai, esantys R ³ , tada AXB yra statmena ir A, ir B

Demonstracija

Norėdami įrodyti, prisiminkime, kad du vektoriai yra statmeni, jei A ∙ B lygus nuliui. Be to, mes žinome, kad:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, bet AxA lygi 0. Todėl mes turime:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Iš to galime daryti išvadą, kad A ir AxB yra statmenos viena kitai. Analogiškai turime:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Kadangi BxB = 0, turime:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Todėl „AxB“ ir „B“ yra statmenos viena kitai ir tuo pademonstruojamos savybės. Tai mums labai naudinga, nes jie leidžia mums nustatyti plokštumos lygtį.

1 pavyzdys

Gaukite plokštumos, kertančios taškus P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ir R (2, 1, 3), lygtį.

Tegul A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ir B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tada A = - i + 3j + k ir B = i - 2j + k. Norint rasti šių trijų taškų suformuotą plokštumą, užtenka rasti vektorių, normalų plokštumai, kuris yra AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Naudodami šį vektorių ir paėmę tašką P (1, 3, 2), galime nustatyti plokštumos lygtį taip:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Taigi, mes turime, kad plokštumos lygtis yra 5x + 2y - z - 9 = 0.

2 pavyzdys

Raskite lygtį plokštumos, kurioje yra taškas P (4, 0, - 2) ir kuri yra statmena kiekvienai plokštumai x - y + z = 0 ir 2x + y - 4z - 5 = 0.

Žinodami, kad normalus vektorius į plokštumą ax + pagal + cz + d = 0 yra (a, b, c), mes turime, kad (1, -1,1) yra normalus vektorius x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) yra normalus 2x + y - 4z - 5 = 0 vektorius.

Todėl normalus ieškomos plokštumos vektorius turi būti statmenas (1, -1,1) ir (2, 1, - 4). Šis vektorius yra:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Tada mes turime, kad ieškoma plokštuma yra ta, kurioje yra taškas P (4,0, - 2), o vektorius (3,6,3) yra normalus vektorius.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Programos

Lygiagretainio vamzdžio tūrio apskaičiavimas

Programa, turinti trigubą skaliarinį sandaugą, turi sugebėti apskaičiuoti lygiagretainio, kurio kraštinės nurodytos vektoriais A, B ir C, tūrį, kaip parodyta paveikslėlyje:

Šią paraišką galime išvesti tokiu būdu: kaip jau minėjome anksčiau, vektorius AxB yra vektorius, normalus A ir B plokštumai. Mes taip pat turime, kad vektorius - (AxB) yra kitas vektorius, normalus minėtai plokštumai.

Mes pasirenkame normalųjį vektorių, kuris sudaro mažiausią kampą su vektoriu C; Nepažeidžiant bendrumo, tegul AxB yra vektorius, kurio kampas su C yra mažiausias.

Mes turime tai, kad tiek AxB, tiek C turi tą patį pradžios tašką. Be to, mes žinome, kad lygiagretainio plotas, kuris sudaro lygiagretainio pagrindą, yra --AxB--. Todėl, jei lygiagretainio aukštis nurodomas h, turime jo tūrį:

V = --AxB - h.

Kita vertus, panagrinėkime taškinį produktą tarp AxB ir C, kurį galima apibūdinti taip:

Tačiau pagal trigonometrines savybes mes turime, kad h = --C - cos (ϴ), taigi turime:

Tokiu būdu mes turime tai:

Apskritai, mes turime tai, kad lygiagretainio vamzdžio tūris yra išreikštas trigubo skaliarinio gaminio AxB absolute absoliučiąja verte.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Atsižvelgiant į taškus P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ir S = (2, 6, 9), šie taškai sudaro lygiagretainį, kurio kraštai jie yra PQ, PR ir PS. Nustatykite minėto lygiagretainio tūrį.

Sprendimas

Jei imtume:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Naudodami trigubo skaliarinio produkto savybes, mes turime:

„AxB“ = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Todėl mes turime tai, kad minėto lygiagretainio tūris yra 52.

2 pratimas

Nustatykite paralelinio vamzdžio, kurio kraštinės nurodytos A = PQ, B = PR ir C = PS, tūrį, kur taškai P, Q, R ir S yra (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ir (2, 2, 5).

Sprendimas

Pirmiausia turime, kad A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Mes apskaičiuojame AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tada mes apskaičiuojame AxB ∙ C:

AxB B C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Taigi darome išvadą, kad minėto lygiagretainio tūris yra 1 kubinis vienetas.

Nuorodos

1. Leithold, L. (1992). Skaičiavimas naudojant analitinę geometriją. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). „Physics“, 1 tomas. Meksika: žemynas.
3. Saenz, J. (nd). Vektorinis skaičiavimas 1ed. Hipotenuzė.
4. „Spiegel“, MR (2011). Vektorinė analizė 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, generalinis direktoratas ir Wright, W. (2011). Kelių kintamųjų apskaičiavimas 4ed. Mc Graw Hill.