- Kokie matmenys?
- Trimatė erdvė
- Ketvirtoji dimensija ir laikas
- Hiperkobo koordinatės
- Hiperkubo išskleidimas
- Nuorodos
Hypercube yra dimensija n kubas. Konkretus keturių matmenų hiperkubo atvejis vadinamas tesektraktu. Hiperkubą arba n-kubą sudaro tiesūs segmentai, visi vienodo ilgio, o jų viršūnės yra statmenos.
Žmonės suvokia trimatę erdvę: plotį, aukštį ir gylį, tačiau mums neįmanoma vizualizuoti hiperkubo, kurio matmuo didesnis nei 3.
1 paveikslas. 0-kubas yra taškas, jei tas taškas tęsiasi tam tikra kryptimi a ir sudaro 1 -ą kubą, jei tas 1-kubas prailgina atstumą a stačiakampės kryptimi, mes turime 2-kubą (nuo kraštinės nuo x iki a), jei 2-jų kubelių ilgis yra a statmenos kryptimi, mes turime 3-kubus. Šaltinis: F. Zapata.
Norėdami parodyti jį daugiausiai, galime sudaryti jo projekcijas trimatėje erdvėje, panašiai, kaip mes projektuojame kubą ant plokštumos, kad jis būtų pavaizduotas.
0 matmenyje vienintelis skaičius yra taškas, taigi 0 kubas yra taškas. 1 kubas yra tiesus segmentas, suformuotas judant tašką viena kryptimi atstumu a.
Savo ruožtu 2-kubas yra kvadratas. Jis sukonstruotas keičiant 1 kubą (a ilgio segmentą) y kryptimi, kuris yra statmenas x krypčiai, atstumu a.
3 kubas yra bendras kubas. Jis pastatytas nuo aikštės, judant trečiąja kryptimi (z), kuri yra statmena x ir y kryptims, atstumu a.
2 paveikslas. 4 kubas (tesseraktas) yra 3 kubo pratęsimas stačiakampės kryptimi į tris įprastas erdvines kryptis. Šaltinis: F. Zapata.
4 kubas yra estaktas, pastatytas iš 3 kubelių, judančių jį stačiakampiu atstumu a, link ketvirtos dimensijos (arba ketvirtos krypties), kurios mes negalime suvokti.
Teakraktas turi visus savo stačiuosius kampus, turi 16 viršūnių, o visi jo kraštai (iš viso 18) yra vienodo ilgio a.
Jei n matmens n-kubo arba hiperkubo kraštų ilgis yra 1, tai yra vienetas-hiperkubas, kurio ilgiausia įstrižainė yra √n.
3 pav. N-kubas gaunamas iš (n-1) kubo, išplečiant jį statmenai kitame matmenyje. Šaltinis: „wikimedia commons“.
Kokie matmenys?
Matmenys yra laisvės laipsniai arba galimos kryptys, kuriomis objektas gali judėti.
0 matmenyje nėra galimybės išversti, o vienintelis galimas geometrinis objektas yra taškas.
Matmuo Euklido erdvėje pavaizduotas orientuota linija arba ašimi, apibrėžiančia tą matmenį, vadinama X ašimi. Atstumas tarp dviejų taškų A ir B yra Euklido atstumas:
d = √.
Dviejose dimensijose erdvė pavaizduota dviem linijomis, nukreiptomis statmenai viena kitai, vadinamomis X ašimi ir Y ašimi.
Bet kurio taško padėtis šioje dvimatėje erdvėje nurodoma iš Dekarto koordinačių poros (x, y), o atstumas tarp bet kurių dviejų taškų A ir B bus:
d = √
Nes tai erdvė, kurioje išsipildo Euklido geometrija.
Trimatė erdvė
Trimatė erdvė yra erdvė, kurioje judame. Jis turi tris kryptis: plotis, aukštis ir gylis.
Tuščioje patalpoje statmeni kampai nurodo šias tris kryptis ir kiekvienai iš jų galime susieti ašį: X, Y, Z.
Ši erdvė taip pat yra Euklidinė, o atstumas tarp dviejų taškų A ir B apskaičiuojamas taip:
d = √
Žmonės negali suvokti daugiau kaip trijų erdvinių (arba Euklido) dimensijų.
Tačiau griežtai matematiniu požiūriu galima apibrėžti n matmens Euklido erdvę.
Šioje erdvėje taškas turi koordinates: (x1, x2, x3,… .., xn), o atstumas tarp dviejų taškų yra:
d = √.
Ketvirtoji dimensija ir laikas
Iš tikrųjų reliatyvumo teorijoje laikas traktuojamas kaip dar vienas aspektas ir su juo susiejama koordinatė.
Tačiau reikia paaiškinti, kad ši su laiku susijusi koordinatė yra įsivaizduojamas skaičius. Todėl dviejų taškų ar įvykių atskyrimas erdvės laike nėra Euklido, o veikiau laikomasi Lorenco metrikos.
Keturių matmenų hiperkubas (tesseraktas) negyvena erdvės laike, jis priklauso keturių matmenų Euklido hiper-erdvei.
4 paveikslas. Keturių matmenų hiperkubo 3D projekcija paprastu pasukimu aplink plokštumą, padalijančią figūrą iš priekio į kairę, atgal į dešinę ir iš viršaus į apačią. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
Hiperkobo koordinatės
N-kubo viršūnių, esančių centre, koordinatės gaunamos atliekant visas įmanomas šios išraiškos permutacijas:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Kur a yra krašto ilgis.
-A briaunos n -io kubo tūris yra: (a / 2) n (2 n ) = a n .
- Ilgiausia įstrižainė yra atstumas tarp priešingų viršūnių.
Toliau pateiktos priešingos kvadrato viršūnės : (-1, -1) ir (+1, +1).
-Ir kube : (-1, -1, -1) ir (+1, +1, +1).
- Ilgiausia n-kubo įstrižainė yra:
d = √ = √ = 2√n
Šiuo atveju buvo manoma, kad pusė yra a = 2. Jei n-asis kubas bus bet koks, jis bus:
d = a√n.
- „Tesseract“ turi kiekvieną iš 16 viršūnių, sujungtų su keturiais kraštais. Šis paveikslėlis parodo, kaip viršūnės yra sujungtos tekste.
5 paveikslas. Parodyta 16 keturių matmenų hiperkubo viršūnių ir kaip jie sujungti. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
Hiperkubo išskleidimas
Taisyklinga geometrinė figūra, pavyzdžiui, daugiabriaunis, gali būti išskleista į keletą mažesnio matmens figūrų.
2 kubo (kvadrato) atveju jis gali būti suskirstytas į keturis segmentus, tai yra, keturis 1 kubą.
Panašiai 3 kubus galima išskleisti į šešis 2 kubus.
6 pav. N-kubą galima išskleisti į kelis (n-1) kubus. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
4 kubus (teseraktą) galima išskleisti į aštuonis 3 kubus.
Toliau pateiktoje animacijoje parodytas teserakto išskleidimas.
7 paveikslas. 4 matmenų hiperkubą galima išskleisti į aštuonis trijų matmenų kubus. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
8 paveikslas. Keturių matmenų hiperkubo, atliekančio dvigubą sukimąsi aplink dvi ortogonalias plokštumas, trijų matmenų projekcija. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
Nuorodos
- Mokslinė kultūra. Hiperkubas, vizualizuojantis ketvirtąją dimensiją. Atgauta iš: culturac Scientifica.com
- Epsilonai. Keturių matmenų hiperkubas arba tesseraktas. Atkurta iš: epsilones.com
- Perezas R, Aguilera A. Metodas, skirtas gauti testeraktą kuriant hiperkubą (4D). Atkurta iš: researchgate.net
- Wikibooks. Matematika, daugiahedrė, hiperkubai. Atkurta iš: es.wikibooks.org
- Vikipedija. Hiperkubas. Atkurta iš: en.wikipedia.com
- Vikipedija. Testeraktas. Atkurta iš: en.wikipedia.com