TRIKAMPIAI: ISTORIJA, ELEMENTAI, KLASIFIKACIJA, SAVYBĖS - MOKSLAS - 2025

Kad trikampiai yra plokščia ir uždarytas geometrinių figūrų, susidedantis iš trijų pusių. Trikampis nustatomas trimis linijomis, susikertančiomis dviem, sudarančiomis tris kampus viena su kita. Trikampio formos, kupinos simbolikos, yra daugybėje objektų ir yra konstrukcijos elementas.

Trikampio kilmė prarasta istorijoje. Iš archeologinių įrodymų žinoma, kad primityvioji žmonija tai gerai žinojo, nes archeologiniai liekanos patvirtina, kad jis buvo naudojamas įrankiuose ir ginkluose.

1 pav. Trikampiai. Šaltinis: viešosios domenų nuotraukos.

Taip pat akivaizdu, kad senovės egiptiečiai turėjo puikių žinių apie geometriją ir ypač apie trikampę formą. Jie atsispindėjo jos monumentalių pastatų architektūriniuose elementuose.

„Rhind“ papirusas rasite formules, skirtas apskaičiuoti trikampių ir trapecijos plotus, taip pat kai kuriuos garsus ir kitas pradinės trigonometrijos sąvokas.

Savo ruožtu yra žinoma, kad babiloniečiai sugebėjo apskaičiuoti trikampio plotą ir kitas geometrines figūras, kurias jie naudojo praktiniams tikslams, pavyzdžiui, žemės dalims. Jie taip pat žinojo apie daugelį trikampių savybių.

Tačiau būtent senovės graikai susistemino daugelį šiandien vyraujančių geometrinių sąvokų, nors didžioji dalis šių žinių nebuvo išskirtinės, nes jomis tikrai buvo dalijamasi su šiomis kitomis senovės civilizacijomis.

Trikampio elementai

Bet kurio trikampio elementai yra nurodyti kitame paveiksle. Yra trys: viršūnės, šonai ir kampai.

2 pav. Trikampių ir jų elementų žymėjimas. Šaltinis: „Wikimedia Commons“, pakeista F. Zapata

-Įtampos : yra linijų, kurių segmentai lemia trikampį, susikirtimo taškai. Pvz., Aukščiau esančiame paveiksle, pavyzdžiui, linija L _AC , kurioje yra segmentas AC, kerta liniją L _AB , kurioje yra segmentas AB tiksliai A taške.

- Šonai : tarp kiekvienos viršūnių poros nubrėžtas linijos segmentas, sudarantis vieną trikampio pusę. Šis segmentas gali būti žymimas pabaigos raidėmis arba naudojant tam tikrą raidę. 2 paveiksle pateiktame pavyzdyje šoninė AB pusė taip pat vadinama „c“.

- Kampai : Tarp abiejų kraštų, turinčių bendrą viršūnę, atsiranda kampas, kurio viršūnė sutampa su trikampio kampu. Paprastai kampas žymimas graikiška raide, kaip nurodyta pradžioje.

Norėdami sukurti tam tikrą tam tikros formos ir dydžio trikampį, tereikia turėti vieną iš šių duomenų rinkinių:

- Trys kraštai, gana aiškūs trikampio atveju.

-Dvi pusės ir kampas tarp jų, o tuoj pat brėžiama likusi pusė.

-Dvieji (vidiniai) kampai ir pusė tarp jų. Išskleidžiant dvi trūkstamas puses, trikampis yra paruoštas.

Pažymėjimas

Paprastai žymint trikampį naudojamos šios sąvokos: viršūnės žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, šonai - mažosiomis lotyniškomis raidėmis, o kampai - graikiškomis raidėmis (žr. 2 paveikslą).

Tokiu būdu trikampis pavadinamas pagal jo viršūnes. Pavyzdžiui, 2 paveiksle kairėje esantis trikampis yra trikampis ABC, o dešinėje - trikampis A'B'C.

Taip pat galima naudoti kitus žymėjimus; pavyzdžiui, kampas α 2 paveiksle žymimas kaip BAC. Atkreipkite dėmesį, kad viršūnės raidė eina per vidurį, o raidės rašomos prieš laikrodžio rodyklę.

Kūgiu žymėti kitu atveju naudojama „caret“:

α = ∠A

Trikampių tipai

Yra keli trikampių klasifikavimo kriterijai. Dažniausiai juos reikia klasifikuoti pagal jų kraštinių matmenis arba pagal jų kampų matmenis. Atsižvelgiant į jų kraštinių ilgį, trikampiai gali būti: skalūnai, lygiašoniai arba lygiakraščiai:

-Scaleno : trys jo pusės yra skirtingos.

-Isósceles : ji turi dvi lygias puses ir vieną kitą pusę.

-Equilátero : trys pusės yra lygios.

3 pav. Trikampių klasifikacija pagal jų puses. Šaltinis: F. Zapata

Pagal jų kampų matmenis trikampiai įvardijami taip:

- kliūtis , jei vienas iš vidinių kampų yra didesnis nei 90º.

- ūmus kampas , kai trys vidiniai trikampio kampai yra aštrūs, tai yra, mažesni nei 90º

- Stačiakampis , jei vieno iš jo vidinių kampų vertė yra 90º. Šonai, sudarantys 90º, vadinami kojomis, o šonas, esantis priešais stačiu kampą, yra hipotenuzė.

4 pav. Trikampių klasifikavimas pagal jų vidinius kampus. Šaltinis: F. Zapata.

Trikampių susitraukimas

Kai du trikampiai turi vienodą formą ir yra vienodo dydžio, sakoma, kad jie yra gretimi. Žinoma, kongruencija yra susijusi su lygybe, tad kodėl geometrijoje mes kalbame ne apie „du lygiagrečius trikampius“, o apie du susilyginančius trikampius?

Na, jei norite laikytis tiesos, geriau naudoti terminą „kongruencija“, nes du trikampiai gali turėti tą pačią formą ir dydį, tačiau plokštumoje gali būti nukreipti skirtingai (žr. 3 paveikslą). Geometrijos požiūriu jie nebebus vienodi.

5 pav. Susidedantys trikampiai, bet nebūtinai lygūs, nes jų orientacija plokštumoje skiriasi. Šaltinis: F. Zapata.

Susitraukimo kriterijai

Du trikampiai sutampa, jei įvyksta kuris nors iš šių reiškinių:

-Trys pusės matuoja tą patį (vėlgi tai yra akivaizdžiausias).

-Jie turi dvi tapačias puses ir tuo pačiu kampu tarp jų.

-Neturi du vienodus vidinius kampus, o pusė tarp šių kampų matuoja tą patį.

Kaip matyti, kalbama apie du trikampius, kurie atitinka būtinas sąlygas, kad juos pastačius, jų forma ir dydis būtų vienodi.

Suderinamumo kriterijai yra labai naudingi, nes praktiškai nesuskaičiuojami gabalai ir mechaninės dalys turi būti gaminami nuosekliai, kad jų išmatavimai ir forma būtų vienodi.

Trikampių panašumas

Trikampis yra panašus į kitą, jei jie yra vienodos formos, net jei jie yra skirtingo dydžio. Norint užtikrinti, kad forma būtų vienoda, reikalaujama, kad vidiniai kampai būtų vienodos vertės, o šonai būtų proporcingi.

6 pav. Du panašūs trikampiai: jų dydžiai skiriasi, bet proporcijos yra vienodos. Šaltinis: F. Zapata.

Trikampiai 2 paveiksle taip pat yra panašūs, kaip ir 6 paveiksle. Tokiu būdu:

Kalbant apie šonus, galioja šie panašumo santykiai:

Savybės

Pagrindinės trikampių savybės yra šios:

- Bet kurio trikampio vidinių kampų suma visada lygi 180º.

-Jei bet kurio trikampio, jo išorinių kampų suma lygi 360 °.

- Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, nesusijusių su minėtu kampu, sumai.

Teoremos

Thaleso pirmoji teorema

Jie priskiriami graikų filosofui ir matematikui Thalesui iš Mileto, kuris sukūrė keletą temų, susijusių su geometrija. Pirmajame iš jų teigiama:

7 paveikslas. Thales'o teorema. Šaltinis: F. Zapata.

Kitaip tariant:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Pirmoji Thaleso teorema taikoma trikampiui, pavyzdžiui, kairėje yra mėlynas trikampis ABC, kurį dešinėje pjauna raudonos paralelės:

8 pav. Thales'o teorema ir panašūs trikampiai.

Violetinis trikampis AB'C 'yra panašus į mėlyną trikampį ABC, todėl pagal Thaleso teoremą galima rašyti taip:

AB´ / AC´ = AB / AC

Ir tai atitinka tai, kas anksčiau buvo paaiškinta trikampių panašumo segmente. Beje, lygiagrečios linijos taip pat gali būti vertikalios arba lygiagrečios hipotenūzei ir panašiai gaunami panašūs trikampiai.

Thaleso antroji teorema

Ši teorema taip pat nurodo trikampį ir apskritimą, kurio centras O, kaip parodyta žemiau. Šiame paveiksle AC yra apskritimo skersmuo, o B yra taškas ant jo, B skiriasi nuo A ir B.

Antroje Thaleso teoremoje teigiama:

9 pav. Thaleso antroji teorema. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Indukcinis krūvis.

Pitagoro teorema

Tai viena garsiausių teoremų istorijoje. Tai lemia graikų matematikas Pitagoras iš Samos (569 - 475 m. Pr. Kr.) Ir yra tinkamas stačiakampiui trikampiui. Sako taip:

Kaip pavyzdį paimtume mėlyną trikampį 8 paveiksle arba purpurinį trikampį, nes abu yra stačiakampiai, tada galima teigti, kad:

AC ² = AB ² + BC ² (mėlynas trikampis)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (purpurinis trikampis)

Trikampio plotas

Trikampio plotą parodo jo pagrindo a sandauga ir aukštis h, padalytas iš 2. O trigonometrijos būdu šį aukštį galima užrašyti kaip h = b sinθ.

10 pav. Trikampio plotas. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Trikampių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Sakoma, kad pagal savo pirmąją teoremą Thalesas sugebėjo išmatuoti Didžiosios piramidės aukštį Egipte, tai yra vienas iš 7 senovės pasaulio stebuklų, išmatuodamas šešėlį, kurį ji išprovokavo ant žemės ir tą, kurį suprojektavo į žemę įmesta kopa.

Tai yra pasakos aprašytos procedūros aprašas:

11 pav. Didžiosios piramidės aukščio matavimo schema pagal trikampių panašumą. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Dake

Thalesas teisingai manė, kad saulės spinduliai teka lygiagrečiai. Turėdamas tai omenyje, jis įsivaizdavo didelį dešinįjį trikampį.

D yra piramidės aukštis, o C yra atstumas nuo žemės paviršiaus, matuojamas nuo centro iki šešėlio, kurį piramidė išmeta dykumos dugne. Išmatuoti C gali būti sudėtinga, tačiau tai tikrai lengviau nei išmatuoti piramidės aukštį.

Kairėje yra mažas trikampis su kojelėmis A ir B, kur A yra vertikaliai į žemę nukreipto stulpelio aukštis, o B yra jo metamas šešėlis. Išmatuojami abu ilgiai, kaip ir C (C yra lygus šešėlio ilgiui + pusei piramidės ilgio).

Taigi, pagal trikampių panašumą:

A / B = D / C

O Didžiosios piramidės aukštis pasirodo esąs toks: D = C. (A / B)

2 pavyzdys

Civilinės konstrukcijos santvaros yra konstrukcijos, pagamintos iš plonų tiesių medinių arba metalinių skersinių strypų, kurios naudojamos kaip atrama daugelyje pastatų. Jie taip pat žinomi kaip santvaros, santvaros arba santvaros.

Juose trikampiai visada yra, nes juostos yra sujungtos taškuose, vadinamuose mazgais, kurie gali būti pritvirtinti arba sujungti.

12 pav. Šio tilto rėme yra trikampis. Šaltinis: „PxHere“.

3 pavyzdys

Metodas, žinomas kaip trikampio nustatymas, leidžia pasiekti neprieinamų taškų vietą, žinant kitus atstumus, kuriuos lengviau išmatuoti, su sąlyga, kad bus sudarytas trikampis, apimantis norimą vietą tarp jo viršūnių.

Pavyzdžiui, šiame paveikslėlyje mes norime žinoti, kur laivas yra jūroje, žymimas kaip B.

13 pav. Laivo buvimo vietos trikampių nustatymo schema. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Colette

Pirmiausia išmatuojamas atstumas tarp dviejų pakrantės taškų, kurie paveiksle yra A ir C. Tada teodolito, prietaiso, naudojamo vertikaliesiems ir horizontaliesiems kampams matuoti, pagalba α ir β kampai turi būti nustatyti.

Turint visą šią informaciją, pastatytas trikampis, kurio viršūnė yra valtis. Laivo jūroje nustatymui belieka apskaičiuoti kampą γ, naudojant trikampių savybes ir atstumus AB ir CB, naudojant trigonometriją.

Pratimai

1 pratimas

Paveikslėlyje pavaizduoti saulės spinduliai yra lygiagrečiai. Tokiu būdu 5 metrų aukščio medis meta 6 metrų šešėlį ant žemės. Tuo pačiu metu pastato šešėlis yra 40 metrų. Vykdydami pirmąją Thaleso teoremą, suraskite pastato aukštį.

14 pav. Išspręstos pratybos schema 1. Šaltinis: F. Zapata.

Sprendimas

Raudonojo trikampio kraštinės yra atitinkamai 5 ir 6 metrai, o mėlynojo - aukštis H - pastato aukštis - ir pagrindo 40 metrų. Abu trikampiai yra panašūs, todėl:

2 pratimas

Jūs turite žinoti horizontalų atstumą tarp dviejų taškų A ir B, tačiau jie yra ant labai nelygaus paviršiaus.

Maždaug minėto reljefo viduryje (P _m ) išsiskiria 1,75 metro aukščio iškilumas. Jei juostos matmuo rodo 26 metrų ilgį, matuojant nuo A iki iškilumo, ir 27 metrus nuo B, einantį į tą patį tašką, raskite atstumą AB.

15 pav. Išspręstos užduoties schema. 2. Šaltinis: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija ir trigonometrija.

Sprendimas

Pitagoro teorema taikoma vienam iš dviejų figūros dešiniųjų trikampių. Pradedant nuo kairės:

Hipotenuzė = c = 26 metrai

Aukštis = a = 1,75 metro

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Dabar pritaikykite Pitagorą trikampyje dešinėje, šį kartą c = 27 metrai, a = 1,75 metro. Turint šias vertybes:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Atstumas AB randamas pridedant šiuos rezultatus:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Nuorodos

1. Baldor, JA 1973. Lėktuvo ir kosmoso geometrija. Centrinės Amerikos kultūros.
2. Barredo, D. Trikampio geometrija. Atkurta iš: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometrija ir trigonometrija. Antrasis leidimas. Pearsonas.
4. Wentworth, G. Plane geometrija. Atkurta iš: gutenberg.org.
5. Vikipedija. Trikampis. Išieškota iš: es. wikipedia.org.