VEKTORIUS: CHARAKTERISTIKOS IR SAVYBĖS, ELEMENTAI, TIPAI, PAVYZDŽIAI - MOKSLAS - 2025

Į vektoriai yra matematiniai subjektai, kurie visuotinai lydi matavimo vienetas -positiva- dydžio ir krypties pat. Tokios savybės yra labai tinkamos apibūdinti fizinius dydžius, tokius kaip greitis, jėga, pagreitis ir daugelis kitų.

Naudojant vektorius, galima atlikti tokias operacijas kaip sudėjimas, atėmimas ir sandauga. Skirstymas vektoriams nėra apibrėžtas. Kaip ir sandaugai, yra trys klasės, kurias aprašysime vėliau: taškinis sandauga arba taškas, vektoriaus sandauga arba kryžius ir skalės sandauga pagal vektorių.

1 pav. Vektoriaus elementai. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Norint išsamiai apibūdinti vektorių, reikia nurodyti visas jo charakteristikas. Dydis arba modulis yra skaitinė reikšmė, lydima vieneto, o kryptis ir prasmė nustatomi koordinačių sistemos pagalba.

Pažvelkime į pavyzdį: tarkime, kad lėktuvas skrieja iš vieno miesto į kitą 850 km / h greičiu šiaurės vakarų kryptimi. Čia turime visiškai nurodytą vektorių, nes galimas dydis: 850 km / h, o kryptis ir pojūtis yra NE.

Vektoriai paprastai vaizduojami grafiškai orientuotais linijų segmentais, kurių ilgis yra proporcingas dydžiui.

Nors nurodoma kryptis ir pojūtis, reikia atskaitos linijos, kuri paprastai yra horizontalioji ašis, nors šiaurę taip pat galima laikyti atskaitos tašku, toks yra plokštumos greitis:

2 pav. Greičio vektorius. Šaltinis: F. Zapata.

Paveiksle pavaizduotą Vektorius greičio plokštumoje, nurodomas kaip v į paryškinti , atskirti jį nuo Skaliarinė kiekį, kuris reikalauja tik tam tikrą skaitmeninę vertę ir kai vieneto, kuris bus nurodyta.

Vektoriaus elementai

Kaip jau minėjome, vektoriaus elementai yra šie:

-Magnetė arba modulis, kartais dar vadinamas absoliučiąja vektoriaus verte ar norma.

-Adresas

-Senis

2 paveiksle pateiktame pavyzdyje v modulis yra 850 km / h. Modulis žymimas kaip v be paryškinimo arba kaip - v -, kur juostos žymi absoliučią vertę.

Nurodoma v kryptis šiaurės atžvilgiu. Šiuo atveju tai yra 45 ° šiaurės rytų (45 ° šiaurės platumos). Galiausiai rodyklės galas praneša apie v pojūtį .

Šiame pavyzdyje vektoriaus kilmė nubrėžta sutampa su koordinačių sistemos O kilme, tai vadinama susietuoju vektoriu. Kita vertus, jei vektoriaus kilmė nesutampa su pamatinės sistemos kilme, sakoma, kad jis yra laisvasis vektorius.

Reikėtų pažymėti, kad norint tiksliai nurodyti vektorių, reikia atkreipti dėmesį į šiuos tris elementus, kitaip vektoriaus aprašymas būtų neišsamus.

Stačiakampiai vektoriaus komponentai

3 pav. Stačiakampiai vektoriaus komponentai plokštumoje. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. uranteras

Paveikslėlyje pateiktas vektoriaus v pavyzdys , kuris yra xy plokštumoje.

Nesunku pastebėti, kad v projekcijos x ir y koordinačių ašyse nustato stačiakampį. Šios iškyšos yra v _{y ir} v _x ir vadinamos stačiakampiais v komponentais .

Vienas iš būdų pažymėti v pagal jo stačiakampius komponentus yra toks: v =x, v _ir >. Šie skliausteliuose naudojami vietoj skliaustų, siekiant pabrėžti faktą, kad tai yra vektorius, o ne laikotarpis, nes tokiu atveju būtų naudojamos skliaustuose.

Jei vektorius yra trimatėje erdvėje, reikia dar vieno komponento, kad:

v =x, v _y , v _z >

Žinant, stačiakampio formos komponentų, vektoriaus dydis yra apskaičiuojamas, panašias į radimo dešinės trikampis, kurio kojos yra v Hypotenuse _x ir prieš _{ir ,.} Remiantis Pitagoro teorema, išplaukia, kad:

Poliarinė vektoriaus forma

Kai žinomas vektoriaus dydis v ir kampas θ, kurį jis sukuria su atskaitos ašimi, paprastai horizontalia ašimi, taip pat nurodomas vektorius. Tada sakoma, kad vektorius yra išreikštas poliarine forma.

Stačiakampius komponentus šiuo atveju lengva apskaičiuoti:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau, plokštumos greičio vektoriaus v stačiakampiai komponentai būtų:

Tipai

Yra keli vektorių tipai. Yra greičio, padėties, poslinkio, jėgos, elektrinio lauko, impulsų ir daugelio kitų vektoriai. Kaip jau minėjome, fizikoje yra daug vektorinių kiekių.

Kalbant apie vektorius, turinčius tam tikras savybes, galime paminėti šiuos vektorių tipus:

-Null : tai yra vektoriai, kurių dydis yra 0 ir kurie žymimi kaip 0. Atminkite, kad paryškinta raidė simbolizuoja tris pagrindines vektoriaus charakteristikas, o normali raidė reiškia tik modulį.

Pavyzdžiui, statinėje pusiausvyroje esančiame kūne jėgų suma turi būti nulio vektorius.

- Laisvieji ir susieti : laisvieji vektoriai yra tie, kurių ištakos ir atvykimo taškai yra bet kuri taškų plokštuma ar erdvė, priešingai nei susieti vektoriai, kurių kilmė sutampa su referencine sistema, naudojama jiems apibūdinti.

Pora ar momentas, kurį sukuria poros jėgų, yra geras laisvo vektoriaus pavyzdys, nes pora netaikoma jokiame konkrečiame taške.

- Lygiagretiai : jie yra du laisvieji vektoriai, pasižymintys vienodomis savybėmis. Todėl jie turi vienodą dydį, kryptį ir prasmę.

- Koplanarinis arba koplanarinis : vektoriai, priklausantys tai pačiai plokštumai.

- Priešybės : vektoriai, kurių dydis ir kryptis yra vienodi, tačiau priešingos kryptys. Priešais vektorių v esantis vektorius yra vektorius - v, o abiejų suma yra nulio vektorius: v + (- v ) = 0 .

- Kartu : vektoriai, kurių visos veikimo kryptys eina per tą patį tašką.

- Skaidrės : tai vektoriai, kurių taikymo taškas gali slysti tam tikra linija.

- Kolinearinis : vektoriai, esantys toje pačioje linijoje.

- Vienetiniai : vektoriai, kurių modulis lygus 1.

Stačiakampiai vienetų vektoriai

Fizikoje yra labai naudingas vektorių tipas, vadinamas stačiakampiu vieneto vektoriu. Stačiakampis vienetų vektorius turi modulį, lygų 1, o vienetai gali būti bet kokie, pavyzdžiui, greičio, padėties, jėgos ar kiti.

Yra specialių vektorių, kurie padeda lengvai pavaizduoti kitus vektorius ir atlikti su jais operacijas, rinkinys: jie yra stačiakampiai vienetų vektoriai i , j ir k , vienetai ir statmeni vienas kitam.

Dviejose dimensijose šie vektoriai nukreipti išilgai teigiamos x ir ašies krypčių. Trimis matmenimis pridedamas vienetinis vektorius teigiamos z ašies kryptimi. Jie vaizduojami taip:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektorius i , j ir k vienetų vektoriais galima pavaizduoti taip:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Pavyzdžiui, ankstesniuose pavyzdžiuose greičio vektorius v gali būti parašytas taip:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponentas k nėra būtinas, nes šis vektorius yra plokštumoje.

Vektorių papildymas

Vektorių suma labai dažnai pasirodo įvairiose situacijose, pavyzdžiui, kai norima surasti atsirandančią jėgą objekte, kurį veikia įvairios jėgos. Norėdami pradėti, tarkime, kad plokštumoje yra du laisvieji vektoriai u ir v , kaip parodyta paveikslėlyje kairėje:

4 pav. Dviejų vektorių grafinė suma. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Lluc kabinachas.

Jis nedelsiant atsargiai perkeliamas į vektorių v , nekeičiant jo dydžio, krypties ar prasmės, kad jo kilmė sutaptų su u pabaiga .

Vektoriaus suma vadinama w ir brėžiama pradedant nuo u, baigiant v , pagal dešinę figūrą. Svarbu pažymėti, kad vektoriaus w didumas nebūtinai yra v ir u didumų suma .

Jei atidžiai pagalvosite, vienintelis laikas, kai gauto vektoriaus dydis yra priedų dydžių suma, yra tada, kai abu priedėliai yra ta pačia kryptimi ir turi tą pačią prasmę.

O kas atsitiks, jei vektoriai nėra laisvi? Juos taip pat labai lengva pridėti. Tai galima padaryti pridedant komponentą prie komponento arba analizės metodu.

Kaip pavyzdį panagrinėkime vektorius šiame paveiksle, pirmiausia reikia juos išreikšti vienu iš anksčiau paaiškintų Dekarto būdų:

Dviejų susietų vektorių suma. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

v = <5,1>

u = <2,3>

Norėdami gauti suminį vektoriaus w x komponentą, pridėkite atitinkamus v ir u x komponentus : w _x = 5 + 2 = 7. Ir norint gauti _y, taikoma analogiška procedūra: w _y = 1 + 3. Taigi:

u = <7,4>

Vektoriaus pridėjimo savybės

-Dviejų ar daugiau vektorių suma lemia kitą vektorių.

-Jis yra komutacinis, priedų tvarka nekeičia sumos taip, kad:

u + v = v + u

- Neutralus vektorių sumos elementas yra nulis vektorius: v + 0 = v

- Dviejų vektorių atimtis apibrėžiama kaip priešingos sumos suma: v - u = v + (-u)

Vektoriniai pavyzdžiai

Kaip minėjome, fizikoje yra daugybė vektorių kiekių. Tarp žinomiausių yra:

- Pozicija

-Pakeitimas

-Vidutinis greitis ir momentinis greitis

-Pagreitis

-Force

- Judėjimo dydis

- jėgos momentas arba momentas

-Impulse

-Elektrinis laukas

-Magnetinis laukas

-Magnetinis momentas

Kita vertus, tai ne vektoriai, o skalarai:

- Oras

-Mass

-Temperatūra

-Aukštis

-Tankis

-Mechaninis darbas

-Energija

-Hot

-Galėjimas

-Įtampa

-Elektros srovė

Kitos operacijos tarp vektorių

Be vektorių sudėjimo ir atimties, tarp vektorių yra dar trys labai svarbios operacijos, nes jos sukelia naujus labai svarbius fizinius dydžius:

-Skaliarų gaminys pagal vektorių.

- Taškų arba taškų produktas tarp vektorių

-Ir kryžminis arba vektorinis produktas tarp dviejų vektorių.

Skaliarų ir vektorių sandauga

Apsvarstykite antrąjį Niutono dėsnį, kuris teigia, kad jėga F ir pagreitis a yra proporcingos. Proporcingumo konstanta yra objekto masė m, todėl:

F = m. į

Mišios yra skaliarinis; jų jėga ir pagreitis yra vektoriai. Kadangi jėga gaunama padauginus masę iš pagreičio, tai yra skalaro ir vektoriaus sandauga.

Šio tipo produktai visada lemia vektorių. Štai dar vienas pavyzdys: judėjimo kiekis. Tegul P yra impulsų vektorius, v greičio vektorius ir, kaip visada, m yra masė:

P = m. v

Taškų arba taškų produktas tarp vektorių

Mes įtraukėme mechaninius darbus į dydžių, kurie nėra vektoriai, sąrašą. Tačiau darbas fizikoje yra operacijos tarp vektorių, vadinamų skaliariniu, vidiniu arba taškiniu, rezultatas.

Tegul vektoriai v ir u apibrėžia tašką arba skaliarinį sandaugą tarp jų kaip:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kur θ yra kampas tarp dviejų. Iš pateiktos lygties iš karto išplaukia, kad taško sandauga yra skalė ir kad abu vektoriai yra statmeni, jų taškinis sandauga yra 0.

Grįžtant prie mechaninio darbo W, tai yra skaliarinis produktas tarp jėgos vektoriaus F ir poslinkio vektoriaus ℓ .

Kai yra vektorių pagal jų komponentus, taškinį sandaugą taip pat labai lengva apskaičiuoti. Jei v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, taškinis produktas tarp jų yra:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Taškų produktas tarp vektorių yra komutacinis, todėl:

v ∙ u = u ∙ v

Kryžminis produktas arba vektorių produktas tarp vektorių

Jei v ir u yra du mūsų vektorių pavyzdžiai, vektoriaus produktą apibūdiname taip:

v x u = w

Iš karto išplaukia, kad kryžminis produktas sukuria vektorių, kurio modulis apibūdinamas kaip:

Kur θ yra kampas tarp vektorių.

Kryžminis produktas nėra komutacinis, todėl v x u ≠ u x v. Iš tikrųjų v x u = - (u x v).

Jei du vektorių pavyzdžiai yra išreikšti vienetų vektoriais, vektoriaus produkto apskaičiavimą palengvinti:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Skersiniai produktai tarp vienetų vektorių

Kryžminis produktas tarp vienodų vienetų vektorių yra lygus nuliui, nes kampas tarp jų yra 0º. Bet tarp skirtingų vienetų vektorių kampas tarp jų yra 90º, o sin - 90º = 1.

Ši schema padeda rasti šiuos produktus. Rodyklės kryptimi ji turi teigiamą kryptį, o priešinga - neigiamą:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Taikydami paskirstomąją savybę, kuri vis dar galioja produktams tarp vektorių ir vienetinių vektorių savybes, turime:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Atsižvelgiant į vektorius:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Koks turi būti vektorius w , kad suma v + u + w būtų 6 i +8 j -10 k ?

Sprendimas

Todėl reikia įsitikinti, kad:

Atsakymas: w = 9 i +7 j - 18 k

- 2 pratimas

Koks kampas tarp vektorių v ir u, atliekant 1 pratimą?

Sprendimas

Mes naudosime taškinį produktą. Iš apibrėžimo, kurį turime:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Pakeitus šias vertes:

Nuorodos

1. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. Kinematika. Redagavo Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: principai su taikymu. 6-asis. Edas Prentice'o salė.
3. Rex, A. 2011. Fizikos pagrindai. Pearsonas.
4. Searsas, Zemansky. 2016. Universiteto fizika su šiuolaikine fizika. 14-oji. 1 tomas.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. 7-asis. Ed. Cengago mokymasis.